Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

252 KAPITEL 7. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
Abbildung 7.9: Mit abnehmender
Dämpfung wird die Amplitude des
angetriebenen Oszillators bei Ω = ω 0
immer größer (Resonanz)
7.6 Lösung einer DGL durch eine Potenzreihe
§ 957 DGLs zweiter Ordnung haben wir bisher mit einem Exponentialansatz gelöst. Das ist
für DGLs mit konstanten Koeffizienten problemlos möglich. Sind die Koeffizienten jedoch
Funktionen der unabhängigen Variablen, so versagt dieser Ansatz. Eine Möglichkeit ist dann
die Lösung der DGL unter Verwendung einer Potenzreihe. In Abschn. 7.7.3 wird dieses Verfahren
zur Lösung der Bessel Differentialgleichung (Bestimmungsgleichung für Bessel Funktionen)
verwendet; hier soll das Prinzip am Beispiel des harmonischen Oszillators vorgestellt
werden.
7.6.1 Schwingungsgleichung als Beispiel
§ 958 Ausgangspunkt ist die Schwingungsgleichung
ẍ + x = 0 .
Diese entspricht der normalen Schwingungsgleichugng ẋ+ω0x 2 = 0 für ω0 2 = 1. 3 Als Lösungsansatz
wählen wir eine Potenzreihe
∞∑
∞∑
∞∑
x = a n t n mit ẋ = na n t n−1 und ẍ = n(n − 1)a n t n−2 .
n=0
n=1
Dabei beginnt die Summation bei jeder Ableitung bei einem um Eins erhöhten Glied, da der
erste Term jeder Summe eine Konstante ist und damit beim Ableiten verschwindet. Einsetzen
in die DGL liefert
∞∑
∞∑
n(n − 1)a n t n−2 + a n t n = 0 .
n=2
n=0
3 Das ist ein unter Mathematikern und theoretischen Physikern belibtes Verfahren: ω0 2 ist eine Konstante.
Ihr Wert ändert nichts an den Charakteristiken einer Lösung sondern skaliert diese nur – in unserem Fall
heißt das, das wir die Zetachse nicht in absoluten Zeiteinheiten wie Sekunden oder Minuten sondern die
eit in Einheiten von 1/ω 0 darstellen. Damit bleibt ein Sinus aber ein Sinus, d.h. für ein Verstädnis der
wesentlichen Merkmale der Lösung benötigen wir den Wert der Konstante nicht. Der ‘Verlust’ der Information
ω0 2 bringt also keine Nachteile, hat aber den Vorteil, dass wir keine durch ω2 0 entstehenden inneren Ableitungen
verlieren. Neben diesem Rechentechnischen Vorteil hat die durch ω0
2 = 1 bedingte Skalierung aber auch
einen Vorteil: stellen wir die Lösung graphisch dar, so haben wir in einem Bild alle Lösungen für beliebige
ω 0 . Dazu müssen wir nur die in ω 0 t dargestellte Zeitachse mit dem ω 0 skalieren, um auf die ‘echte’ Zeit
zu kommen. Bei der graphischen Darstellung wird ein weiterer Vorteil der skalierten Zeit deutlich: um die
Bewegung des Federpendels zu verstehen, verfolgen wir diese z.B. über weinige Schwingungen. Dabei können
wenige Sekunden oder mehrere Minuten vergehen. Aber zum Verständnis der Bewegung ist nicht unsere
äußere, durch die Uhr vorgegebene Zeit relevant, sondern die charakteristische Zeitskala des Systems. Und
diese ist beim Pendel durch den Kehrwert seiner (Kreis-)Freuqenz bestimmt. Beim radioaktiven Zerfall wäre
die charakteristische Zeitskala des Systems dder Kehrwert der Zerfallskonstante. Auch bei den numerischen
Lösungen von Differentialgleichungen werden wir sehen, dass die Zeitkonstante eines Systems ein wichtiger
Parameter ist.
n=2
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode