Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

8.2. RECHENTECHNIK 313
• es existiert ein inverses Element der Multiplikation mit einem Skalar λ: der Skalar λ −1 :
λλ −1 A = A.
• es gilt das Assoziativgesetz: λ(µA) = (λµ)A = λµA.
Die beiden Operationen, Addition von Matrizen und Multiplikation einer Matrix mit einem
Skalar, sind durch ein Distributivgesetz mit einander verknüpft:
λ(A + B) = λA + λB und (λ + µ)A = λA + µA .
8.2.3 Matrixmultiplikation
§ 1160 Die Regeln für die Multiplikation von Matrizen können wir am Beispiel des linearen
Gleichungssystems aus § 1132 illustrieren. Dort haben wir eine 3 × 3-Matrix A mit einer
3 × 1-Matrix ⃗x (Spaltenvektor) multipliziert gemäß
⎛
⎝ a ⎞ ⎛
11 a 12 a 13
a 21 a 22 a 23
⎠ ⎝ x ⎞ ⎛
1
x 2
⎠ = ⎝ a ⎞
11x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3
a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3
⎠ .
a 31 a 32 a 33 x 3 a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3
Das Ergebnis ist eine 3 × 1-Matrix, d.h. ein Spaltenvektor.
§ 1161 Die Details der Multiplikation werden verständlich, wenn man die Koeffizienten der
Matrix als Zeilenvektoren schreibt:
⃗a 1 = ( a 11 a 12 a 13 ) = (a 1i )
⃗a 2 = ( a 21 a 22 a 23 ) = (a 2i )
⃗a 3 = ( a 31 a 32 a 33 ) = (a 3i )
und damit
⎛
A = ⎝ ⃗a ⎞ ⎛
1
⃗a 2
⎠ = ⎝ a ⎞
11 a 12 a 13
a 21 a 22 a 23
⎠ .
⃗a 3 a 31 a 32 a 33
Das Produkt aus Matrix und Vektor lässt sich dann schreiben als
⎛
A ⃗x = ⎝ ⃗a ⎞ ⎛
1
⃗a 2
⎠ ⃗x = ⎝ ⃗a ⎞ ⎛
1 · ⃗x
⃗a 2 · ⃗x ⎠ = ⎝ a ⎞
11x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3
a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3
⎠ .
⃗a 3 ⃗a 3 · ⃗x a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3
Die Komponenten c i des Produktes einer Matrix A mit einem Vektor ⃗x ergeben sich als
das Skalarprodukt aus dem entsprechenden Zeilenvektor ⃗a i der Matrix mit dem Vektor ⃗x:
c i = ⃗a i · ⃗x. 1
§ 1162 Hat die zweite Matrix mehr als eine Spalte, so wird sie in Spaltenvektoren zerlegt
und wir erhalten für das Produkt zweier Matrizen
⎛
A B = ⎝ ⃗a ⎞
⎛
1
⃗a 2
⎠ ( )
⃗ b1 ⃗ b2 ⃗ b3 = ⎝ ⃗a ⎞
1 ·⃗b 1 ⃗a 1 ·⃗b 2 ⃗a 1 ·⃗b 3
⃗a 2 ·⃗b 1 ⃗a 2 ·⃗b 2 ⃗a 2 ·⃗b 3
⎠ .
⃗a 3 ⃗a 3 ·⃗b 1 ⃗a 3 ·⃗b 2 ⃗a 3 ·⃗b 2
1 Warnung: der Ausdruck
0 1
@ ⃗a 1
⃗a 2
A ⃗x
⃗a 3
erinnert zwar an die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar, das ist aber bestenfalls eine Merkhilfe.
Mathematisch können wir diesen Transfer nicht übernehmen. So ist die Multiplikation eines Vektors mit
einem Skalar kommutativ, λ⃗r = ⃗rλ, die obige Multiplikation jedoch nicht, da der Ausdruck
0 1
⃗x @ ⃗a 1
⃗a 2
A
⃗a 3
nicht definiert ist: die Dimensionen der beteiligten Matrizen genügen nicht den in Definition 72 gestellten
Anforderungen an die Matrixmultiplikation!
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007