Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

5.3. MEHRFACHINTEGRALE 177
∫
dA mit dem Flächenelement r dr dϕ. Mit den obigen Integrationsgrenzen ergibt sich für
das Doppelintegral:
∫
A = dA =
A
∫π/2
∫ 1
ϕ=0 r=0
r dr dϕ .
Ausführen der inneren Integration über r liefert
∫ 1
r=0
[ r
2
r dr =
2
] 1
0
= 1 2
Ausführen der äußeren Integration liefert
A = 1 2
∫π/2
ϕ=0
dϕ = 1 2 [ϕ]π/2 0
= π 4 .
Da die Integrationsgrenzen konstant sind, hätten wir die Reihenfolge der Integration auch
vertauschen können.
§ 687 Die Flächenbestimmung in Polarkoordinaten war einfach, da die zu integrierende
Funktion f = 1 ist. Wie sieht es für eine allgemeine Funktion f aus? Ist diese zusammen
mit den Integrationsgrenzen bereits in Polarkoordinaten (r, ϕ) gegeben, so kann das Integral
direkt ausgeführt werden. Ist die Funktion dagegen in kartesischen Koordinaten (x, y) gegeben,
so müssen diese zuerst in Polarkoordinaten transformiert werden. Gleiches gilt für die
Integrationsgrenzen. Die Transformationen
x = r cos ϕ , y = r sin ϕ und dA = r dr dϕ .
überführen dann das Doppelintegral in die Form
∫
∫ϕ 2 ∫r a
∫ ∫
f(x, y) dA = f(r cos ϕ, r sin ϕ) r dr dϕ =
r i
A
ϕ 1
ϕ 2 r a
ϕ 1
r i
f(r, ϕ) r dr dϕ .
Die Integration erfolgt in zwei nacheinander auszuführenden gewöhnlichen Integrationsschritten,
einer inneren Integration über r bei festem ϕ und anschließend der äußeren Integration
über ϕ.
5.3.2 Dreifachintegrale
§ 688 Die Definition des Dreifachintegrals ist, wie schon die des Doppelintegrals, eine direkte
Erweiterung der Definition 50 des bestimmten Integrals:
Definition 52 Ist der Grenzwert
z 1
f(x, y, z) ∆x ∆y ∆z vorhanden,
so heißt er Dreifachintegral, geschrieben
∫
∫∫∫
f(x, y, z) dV = f(x, y, z) dx dy dz .
∑ ∑
lim lim lim
x 2 y 2 ∑z 2
∆x→∞ ∆y→∞ ∆z→∞ x 1 y 1
§ 689 Das Dreifachintegral mit einer nicht-trivialen Funktion f(x, y, z) als Integranden hat
keine anschauliche Bedeutung. Ist der Integrand dagegen f(x, y, z) = 1, so gibt das Dreifachintegral
das Volumen des durch die Integrationsgrenzen bestimmten Körpers.
§ 690 Neben der Bestimmung eines Volumens ist die Bestimmung eine Trägheitsmoments
eine typische Anwendung für Dreifachintegrale. Das Trägheitsmoment I ⊙ eines Massenpunktes
hatten wir bereits in (1.13) als I ⊙ = ϱ 2 m mit ϱ als dem Abstand von der Drehachse und
m als der Masse kennen gelernt. Um das Trägheitsmoment I eines ausgedehnten Körpers zu
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007