Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

10.3. INTEGRATION: LINIEN- UND OBERFLÄCHENINTEGRAL 389
5. Das Skalarprodukt ⃗ F · d⃗r ist das totale Differential eines Potentials U: dU = ⃗ F · d⃗r.
Hierbei handelt es sich um eine ebenfalls um eine Folgerung aus (2).
Von diesen Regeln ist (3) die am einfachsten durchzuführende.
§ 1462 Jetzt können wir die am Ende von § 1459 geäußerte Vermutung, das Feld F ⃗ =
(yz, xz, xy) sei konservativ, überprüfen. Dazu bilden wir dessen Rotation:
⎛
⎝ ∂/∂x
⎞ ⎛
∂/∂y ⎠ × ⎝ yz
⎞ ⎛
xz ⎠ = ⎝ x − x
⎞
y − y ⎠ = 0 ,
∂/∂z xy z − z
d.h. das Feld ist wirbelfrei und damit konservativ.
§ 1463 Regel (4) lässt sich auch aus den Eigenschaften des Linienintegrals direkt folgern.
Da wir das Linienintegral in ein gewöhnliches Integral überführen können, gelten auch die
Regeln der gewöhnlichen Integration. Insbesondere ist das Kurvenintegral additiv: kann die
Kurve C in zwei Abschnitte C 1 und C 2 zerlegt werden, so gilt
∫ ∫
⃗F · d⃗r =
C
∫
F ⃗ · d⃗r +
C 2
F ⃗ · d⃗r .
C 1
Die beim Treppensteigen vom Erdgeschoss in den vierten Stock verrichtete Arbeit ist die
Summe der Arbeiten für den Weg vom Erdgeschoss bis in den zweiten Stock und dann vom
zweiten Stock bis in den vierten.
§ 1464 Wie sieht es mit einer anderen Regel der Integration aus, dem Vorzeichenwechsel
beim Vertauschen der Integrationsgrenzen? Zumindest im Gravitationsfeld als dem Musterbeispiel
eines konservativen Feldes gilt: bei Umkehr des Durchlaufs der Kurve C ändert sich
das Vorzeichen des Linienintegrals, d.h.
∫
∫
⃗F · d⃗r = − ⃗F · d⃗r .
−C
C
Oder anschaulich: beim Anheben eines Steins gegen die Gewichtskraft wird Hubarbeit geleistet,
auf dem umgekehrten Weg verrichtet das Gravitationsfeld Beschleunigungsarbeit am
Stein.
§ 1465 Aus diesen beiden Eigenschaften folgt, dass das Kurvenintegral in einem Gebiet
genau dann wegunabhängig ist, wenn die Zirkulation verschwindet
∮ ∫ ∫
Z C = ⃗F · d⃗r = F ⃗ · d⃗r − F ⃗ · d⃗r
C
C 1
C 2
mit C 1 und C 2 als zwei Kurven zwischen den Punkten P 1 und P 2 . Umgekehrt verschwindet
die Zirkulation, wenn das Kurvenintegral wegunabhängig ist, d.h. wenn das Feld konservativ
ist.
§ 1466 Betrachten wir die Frage, ob ein Feld konservativ ist oder nicht, an einem Beispiel
genauer. Gegeben ist das Feld F ⃗ = (−y/(x 2 + y 2 ), x/(x 2 + y 2 )). Ein Körper wird in diesem
Feld vom Punkt (1,0) zum Punkt (-1,0) verschoben. Die Arbeit ist entlang der beiden
halbkreisförmigen Wege gegen und mit dem Uhrzeigersinn zu bestimmen. Die Wege lassen
sich in Polarkoordinaten beschreiben, in einem Fall für 0 ≤ ϕ ≤ π, der andere Weg ist
0 ≥ ϕ ≥ −π oder alternativ 2π ≤ ϕ ≤ π. Der Ortsvektor ist ⃗r = r(cos ϕ, sin ϕ) und nach
Ableiten ˙⃗r = r(− sin ϕ, cos ϕ). Für das Skalarprodukt erhalten wir
⃗F · ˙⃗r =
( )
−r sin ϕ/r
2
r cos ϕ/r 2 ·
(
−r sin ϕ
r cos ϕ
)
= sin 2 ϕ + cos 2 ϕ = 1
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007