Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

7.7. MATHEMATISCHE ERGÄNZUNG 257
§ 973 Ein Beispiel für eine DGL deren Lösung sich nicht aus elementaren mathematischen
Funktionen konstruieren lässt, ist die Bessel Differentialgleichung, der wir in Abschn. 11.3.4
im Zusammenhang mit dem relativ einfachen physikalischen Problem der schwingenden
Kreismembran nochmals begegnen werden:
t 2 ẍ + tẋ + (t 2 − p 2 )x = 0 mit p = const ∈ R . (7.29)
Diese DGL ist die Definitionsgleichung für die Bessel Funktion, d.h. Bessel Funktionen sind
die Lösungen dieser DGL.
§ 974 Gleichung (7.29) ist auf x > 0 beschränkt. Die Beschränkung auf x > 0 ist sinnvoll,
wenn wir mit Hilfe der Bessel-Funktion physikalische Größen beschreiben wollen. Der Parameter
p hat wesentlichen Einfluss auf die Art der Lösung; ersetzen wir p durch n ∈ N,
d.h. beschränken wir den Parameter auf natürliche Zahlen, so bezeichnet er die Ordnung der
Bessel Funktion.
§ 975 Die Koeffizienten von (7.29) sind in der Normalform (7.26)
p(t) = 1 t
und
q(t) = 1 − n2
t 2 .
Diese Koeffizienten sind überall analytisch. Mit dem Ansatz
∞∑
x 1 (t) = a k t k+r mit r = ±n
k=0
ergibt sich als erste Lösung der Differentialgleichung die Bessel Funktion erster Gattung oder
erster Art der Ordnung Null zu
∞∑ (−1) k ( ) 2k t
J 0 (t) =
(k!) 2 .
2
k=0
Zwischenrechnung 38 Verifizieren Sie diesen Ausdruck
§ 976 Bessel Funktionen erster Art der Ordnung n lassen sich mit Hilfe der in Kap. 9 genauer
diskutierten Γ Funktion 5 (9.12) schreiben als
∞∑ (−1) k ( 2k+n t
J n (t) =
Γ(k + 1) Γ(k + 1 + n) 2)
k=0
oder explizit für die ersten beiden Ordnungen
J 0 (t) = 1 − t2
2 2 + t4
2 2 · 4 2 − t 6
2 2 · 4 2 · 6 2 . . . ,
J 1 (x) = t 2 − t3
2 2 · 4 2 + t 5
2 2 · 4 2 · 6 2 + . . . . (7.30)
§ 977 Abbildung 7.10 zeigt die Bessel Funktion erster Art für die unteren Ordnungen. Alle
Funktionen oszillieren, die Amplitude der Oszillation nimmt mit zunehmendem t ab und
aufeinander folgende Ordnungen sind um π/4 verschoben. Für kleine Werte von t lassen
sich die verschiedenen Ordnungen annähern durch J 0 ∼ 1, J 1 ∼ x, J 2 ∼ x 2 bzw. allgemein
J m ∼ x m .
§ 978 Die zweite Lösung von (7.10) hat die Form
∞∑
x 2 (t) = x 1 (t) ln t + t b k t k ,
k=0
5 Die Γ-Funktion ist eine verallgemeinerte Fakultät. Während n! nur für n ∈ N definiert ist, ist Γ(x) für
x ∈ R definiert und es ist Γ(n + 1) = n!.
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007