Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

516 ANHANG C. ERSTE HILFE
Wir ziehen auf beiden Seiten die Wurzel (wobei rechts explizit auf die positive und negative
Wurzel hingewiesen wird):
x 1,2 + p 2 = ± √ (p
2) 2
− q .
Auflösen nach x 1,2 liefert die bekannte pq-Formel:
x 1,2 = − p 2 ± √ (p
2) 2
− q .
Das Verfahren der quadratischen Ergänzung hat uns bis hier nur die Erklärung für die pq-
Formel geliefert, ansonsten aber einen eher behäbigen Eindruck erweckt. Das liegt daran,
dass quadratische Ergänzung irgendwie nichts für allgemeine Gleichung ist sondern nur in
der konkreten, mit Zahlen behafteten Gleichung effizient ist.
Beispiel 7 Wir nehmen wieder die quadratische Gleichung aus Bsp. 6, gleich in
Normalform:
x 2 + 2x − 5 4 = 0 .
Der Faktor vor dem x-Term ist eine 2, d.h. wir streben ein Binom der Form (x+1) 2 =
x 2 + 2x + 1 an. Um dort hin zu gelangen, addieren wir die noch fehlende 1:
x 2 + 2x + 1 − 5 4 = 1 ,
schreiben die ersten drei Terme links als Binom und addieren 5/4 um den verbleibenden
Term auf die andere Seite zu bringen:
(x + 1) 2 = 1 + 5 4 = 9 4 .
Auf beiden Seiten die Wurzel ziehen,
x 1,2 + 1 = ± 3 2 ,
und auflösen liefert die schon bekannten Lösungen
x 1 = 3 2 − 1 = 1 2
und x 2 = − 3 2 − 1 = −5 2 . ✷
C.1.3
Umgang mit Potenzen
§ 1859 Potenzen sind Ausdrücke der Form x a oder a n . Potenzen kommen in der Physik
häufig bei Maßeinheiten vor:
10 −3 km = 1 m = 10 2 cm = 10 3 mm = 10 6 µm = 10 9 nm = 10 12 pm .
Da physikalische Größen aus einer Maßzahl und einer Einheit bestehen, bedeutet ein Rechnen
mit physikalischen Größen häufig auch ein Rechnen mit Potenzen. Selbst die Bestimmung
der Fläche eines Rechtecks mit Seitenlängen von 1 km und 1 mm gibt nur dann eine sinnvolle
Maßeinheit, wenn wir das Rechnen mit Potenzen beherrschen:
1 km · 1 mm = 10 3 m · 10 −3 m = 10 3 · 10 −3 · m · m = 10 3−3 m 2 = 10 0 m 2 = 1 m 2 .
§ 1860 Zuvor zwei Begriffe: in der Potenz a b wird a als die Basis und b als der Exponent
bezeichnet. Potenzen können nur dann addiert oder subtrahiert werden, wenn sowohl Basis
als auch Exponent gleich sind: a b + 5a b = 6a b kann bestimmt werden, der Ausdruck a b + b a
kann jedoch, wofern nicht a = b, nicht weiter vereinfacht werden.
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode