Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

54 KAPITEL 2. FOLGEN UND REIHEN
negativ werden kann. Innerhalb dieses Bereichs sind die Häufigkeiten der Werte der Folgenglieder
sehr unterschiedlich verteilt: so fällt in das Intervall [1, 0.5) genau ein Glied der Folge
(a 1 = 1), desgleichen in die Intervalle [0.5, 0.4) (a 2 = 0.5), [0.4, 0.3) (a 3 = 0.3) und [0.3, 0.2)
(a 4 = 0.25). Erst in das anschließende Intervall [0.2, 0.1) fallen fünf Glieder der Folge. Dafür
ist das verbliebene Intervall [0.1, 0] recht gut gefüllt mit unendlich vielen Gliedern der Folge.
Dieses letzte Intervall können wir nochmals unterteilen:
[0.1, 0.08) [0.08, 0.06) [0.06, 0.04) [0.04, 0.02) [0.02, 0)
3 4 8 25 ∞
Wieder ist die Zahl der Glieder der Folge in den oberen Teilintervallen relativ klein, im
untersten dagegen unendlich. Dieses Muster wiederholt sich bei immer feinerer Unterteilung.
Das legt die Vermutung nahe, dass sich die Werte der Glieder der Folge an der unteren Grenze
des unteren Intervalls, also bei Null, häufen: die Null bildet einen Häufungspunkt der Folge.
Häufungspunkte
§ 220 Für die harmonische Folge scheinen Häufungspunkt und Grenzwert identisch zu sein:
nicht nur liegen unendlich viele Glieder der Folge in der Nähe von Null sondern sie streben
mit wachsendem n auch gegen die Null. Die alternierende Folge zeigt jedoch, dass ein solcher
Häufungspunkt keinesfalls zwingend ein Grenzwert ist: bei ihr liegen jeweils unendlich viele
Werte in den Punkten +1 und −1, aber die alternierende Folge strebt weder gegen +1 noch
gegen −1; sie hat keinen Grenzwert.
§ 221 Ein Zusammenhang zwischen Beschränktheit und Existenz von Häufungspunkten wird
durch den Satz von Bolzano und Weierstraß beschrieben:
Satz 2 Jede nach oben und unten beschränkte Folge hat mindestens einen Häufungspunkt.
§ 222 Statt eines Beweises soll hier soll eine Plausibilitätsbetrachtung ausreichen. Die alternierende
Folge erfüllt die Voraussetzung des Satzes (sie ist nach oben und unten beschränkt)
und hat zwei Häufungspunkte. Auch die harmonische Folge erfüllt die Voraussetzungen, sie
hat einen Häufungspunkt. Die geometrische Folge erfüllt die Voraussetzungen nur für q ≤ 1
und hat dann einen Häufungspunkt: die Null für |q| < 1 und a 0 für q = 1. Die Folge der
natürlichen Zahlen und die geometrische Folge mit |q| > 0 erfüllen die Voraussetzung des Satzes
nicht, da sie zwar nach unten aber nicht nach oben beschränkt sind. Die Tatsache, dass
beide keinen Häufungspunkt besitzen hat nichts mit dem Satz von Bolzano und Weierstraß
zu tun: dieser ist nur anwendbar, wenn die Voraussetzungen erfüllt sind.
Grenzwert
§ 223 Im Hinblick auf die Existenz eines Grenzwerts scheint ein Häufungspunkt eine notwendige
Bedingung zu sein, nicht jedoch eine hinreichende. Notwendig, da eine Folge sicherlich
keinen Grenzwert hat, wenn sie keinen Häufungspunkt hat. Das illustriert die Folge
der natürlichen Zahlen. Ein Häufungspunkt ist aber auch keine hinreichende Bedingung für
die Existenz eines Grenzwerts: die alternierende Folge hat zwei davon, dafür aber keinen
Grenzwert. Mit einer zusätzlichen Bedingung lässt sich ein formaler Zusammenhang zwischen
Häufungspunkt und Grenzwert herstellen:
Satz 3 Eine Folge (a n ) hat einen Grenzwert, wenn sie genau einen Häufungspunkt A besitzt
und dieser im Endlichen liegt:
lim a n = A
n→∞
ist der Grenzwert dieser Folge.
Die alternierende Folge erfüllt die Voraussetzungen nicht, da sei mehr als einen Häufungspunkt
hat. Damit muss sie auch keinen Grenzwert haben.
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode