Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

4.6. DIFFERENTIALRECHNUNG IN MATLAB 163
(g) Evolvente (Kurve, die am Endpunkt eines fest gespannten Fadens beschrieben wird, wenn
dieser von einem Kreis abgewickelt wird): x = a cos ϕ + aϕ sin ϕ und y = a sin ϕ − aϕ cos ϕ,
(h) x = arcsin t, y = t 2 mit −1 < t < 1.
Aufgabe 68 Bilden Sie die erste Ableitung y ′ = dy/dx der bereits aus Aufgabe 50 bekannten,
in Polarkoordinaten dargestellten Funktionen :
(a) Logarithmische Spirale: (Spirale, die alle vom Ursprung ausgehenden Graden unter dem
gleichen Winkel α schneidet) r = ae kϕ mit k = cotα,
(b) Archimedische Spirale (Kurve, die durch die Bewegung eines Punktes mit konstanter Geschwindigkeit
v auf einem Strahl entsteht, der mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω um
den Ursprung kreist): r = aϕ mit a = v/ω > 0,
(c) Hyperbolische Spirale: r = a/ϕ,
(d) Lemniskate (liegende Acht): r = a √ 2 cos 2ϕ,
(e) r = e ϕ sin ϕ,
(f) Freeth’s Nephroid: r = a(1 + 2 sin(ϕ/2)).
Aufgabe 69 Ein Körper der Masse m bewegt sich unter Einwirkung einer Kraft F ⃗ entlang
einer Kurve
⎛
⃗s(t) = ⎝
at + b
⎞
ct 2 + dt + e ⎠ .
f e −gt
Bestimmen Sie die auf den Körper wirkende Kraft. Klassifizieren Sie die einzelnen Komponenten
der Bewegung in gleichförmig oder beschleunigt.
Aufgaben mit MatLab Bezug
Aufgabe 70 Stellen Sie das Gravitationspotential dar (siehe Aufgabe 56) zusammen mit
der Gravitationskraft als dem Negativen seines Gradienten.
Aufgabe 71 Eine Messreihe hat die folgenden Werte für den Ort s zur Zeit t ergeben:
t [s] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
s [m] 0 1 4 9 16 16 12 10 12 16 25 32 35 32 19
Stellen Sie das Messergebnis graphisch dar zusammen mit der numerisch bestimmten Geschwindigkeit
in jedem Zeitintervall.
Literatur
§ 635 Zur Wiederholung des Schulstoffs sind wieder Schäfer und Georgi [62] und der Wissenspeicher
[12] zu empfehlen. Eine Einführung auf vergleichbarem Niveau mit wesentlich
mehr Aufgaben und Beispielen findet sich im Band 1 von Papula [44] für Funktionen einer
Variablen und in Band 2 [45] für Funktionen von mehreren Variablen. Die entsprechenden
Kapitel über Funktionen mehrerer Variablen und vektorwertige Funktionen in Marsden und
Tromba [38] sind ebenfalls sehr nützlich, ebenso die in Lang und Pucker [33] und McQuarrie
[39]. Einen Kompaktkurs in die Analysis mit Rechnerunterstützung gibt Wolter [76], weiterführende
Literatur sind Kosmala [30] und Silverman [66].
§ 636 Die mathematischen Grundbegriffe ebenso wie eine Einführung zur Differentialrechnung
finden Sie, ebenso wie bei Folgen und Reihen, in den Anfangskapiteln von Analysis-
Büchern bzw. Skripten. Einige Analysis Skripte im Internet sind z.B. http://www-m12.ma.
tum.de/lehre/an1 2004/skript.php und http://www-m12.ma.tum.de/lehre/an2 2005/
skript.php (, zweisemestrig, beide Lasser, TU München), http://www-ian.math.uni-magdeburg.
de/home/tobiska/lectures.html (zweisemestrig, Tobiska, Uni magdeburg), http://www-user.
tu-chemnitz.de/ ∼ stollman/skript.php (verschiedene zweisemestrige, TU Chemnitz) oder
http://www.mathematik.hu-berlin.de/teach/script.html (verschiedene Skripte der Humboldt
Uni Berlin).
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007