Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

174 KAPITEL 5. INTEGRATION
parallel zu seinen Kanten und lassen die Integration entlang jeder Koordinatenachse vom
Anfangs- zum Endpunkt der entsprechenden Koordinate laufen. Bei einer Kugel wird ein
kartesisches Koordinatensystem sperrig: hier läuft die x-Koordinate über einen unterschiedliche
weiten Bereich, je nachdem, welche y- und z Koordinaten gerade betrachtet werden.
Allerdings lässt sich die Kugel in Kugelkoordinaten praktisch beschreiben: wir zerlegen sie
in konzentrische Kugelschalen. Auf jeder Kugelschale werden alle Elemente durch Ablaufen
von ϕ und ϑ im Bereich [0, 2π] bzw. [0, π] erreicht, die Summation über alle Kugelschalen
erfolgt durch Integration von Null bis zum Radius R der Kugel. Bei den Mehrfachintegralen
ist daher die Wahl eines geeigneten Koordinatensystems wichtig. Auch hier gilt die bereits in
§ 572 gegebene Warnung: im Prinzip führen alle Koordinatensysteme zum Ziel – Sie müssen
sich aber für eines entscheiden und dann konsequent in diesem arbeiten.
§ 673 Da die Definitionen der Mehrfachintegrale nicht immer sehr anschaulich sind und
insbesondere die Integrationsgrenzen Sie manchmal an ihre Grenzen bringen können, ist der
Rest dieses Abschnitts eine Mischung aus kurzer Definition und Beispielen. An diesen sollte
deutlich werden, dass Mehrfachintegrale werden nicht nur zur Bestimmung von Flächeninhalt
oder Volumina verwendet. Stärker Physik-orientierte Anwendungen von Mehrfachintegralen
sind die Bestimmung von Schwerpunkten oder Trägheitsmomenten.
5.3.1 Doppelintegrale
§ 674 Das Doppelintegral ist das einfachste Mehrfachintegral: die Integration wird über zwei
Variable, z.B. x und y ausgeführt. Integrieren wir dabei über eine nicht-triviale Funktion
f(x, y), so gibt das Doppelintegral anschaulich das Volumen zwischen dem Funktionsgraphen
und der xy-Ebene. Integrieren wir dagegen über f(x, y) = 1, so entspricht dies der Addition
unendlich vieler infinitesimaler Flächenelemente dx dy und gibt als Ergebnis eine Fläche.
§ 675 Beginnen wir mit dem anschaulichsten Fall, einer Funktion f(x, y) von zwei Variablen
x und y, die wir als kartesische Koordinaten interpretieren können. Das Doppelintegral lässt
sich schreiben als
∫ x 2 ∫
∫
y 1
f(x, y) dx dy = f(x, y) dA
x 1
y 2
A
mit dem Flächenelement in kartesischen Koordinaten dA = d 2 r = dx dy. Beachten Sie, dass
dabei gegebenenfalls die Integrationsgrenzen in einer der Variablen von der anderen Variablen
abhängen können, wie bereits in § 649 angedeutet.
§ 676 In Anlehnung an Definition 50 lässt sich das Doppelintegral definieren als:
Definition 51 Ist der Grenzwert
Doppelintegral, geschrieben
∫
∫∫
f(x, y) dA = f(x, y) dx dy .
∑ ∑
lim lim
x 2 y 2
∆x→∞ ∆y→∞ x 1
y 1
f(x, y) ∆x ∆y vorhanden, so heißt er
Doppelintegral in kartesischen Koordinaten.
§ 677 Die Bestimmung des Volumens zwischen Funktionsgraph und xy-Ebene erfolgt meist
in kartesischen Koordinaten, da die Funktion selbst so dargestellt wird. Hier gehen wir davon
aus, dass die Integrationsgrenzen in y von x abhängen. Die Berechnung des Doppelintegrals
erfolgt durch zwei nacheinander auszuführende gewöhnliche Integrationen:
∫
A
f(x, y) dA =
∫ b
x=a
⎡
⎢
⎣
f∫
o(x)
y=f u(x)
⎤
⎥
f(x, y) dy⎦ dx .
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode