Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

7.8. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN IN DER PHYSIK 273
mit x(t)/l als dem relativen Anteil des überhängenden Seilstücks. Diese Kraft wirkt auf das
gesamte Seil, d.h. die Bewegungsgleichung ist
m ẍ = mg x(t) bzw. ẍ = g x l
l .
Dies ist eine lineare homogene DGL 2 ter Ordnung.
§ 1025 Zur Lösung dieser DGL wählen wir einen Exponentialansatz x = e λt mit ẋ = λe λt
und ẍ = λ 2 e λt . Einsetzen in die Bewegungsgleichung liefert
λ 2 e λt = g l eλt bzw. λ 2 = g l
und damit λ = ±√ g
l .
Damit ergibt sich die allgemeine Lösung
x(t) = c 1 e λt + c 2 e −λt .
Physikalisch sinnvolle Anfangsbedingungen sind eine Anfangsgeschwindigkeit v(0) = 0 und
ein anfänglich überhängendes Seilstück x(0) = x 0 . Einsetzen in die allgemeine Lösung liefert
x 0 = c 1 + c 2 . Einsetzen der Anfangsbedingung für die Geschwindigkeit in die erste Ableitung
der allgemeinen Lösung liefert
ẋ(t) = λc 1 e λt − λc 2 e −λt ⇒ 0 = c 1 − c 2
und damit c 1 = c 2 = x 0 /2. Einsetzen in die Bewegungsgleichung liefert als spezielle Lösung
für diese Anfangsbedingungen
x(t) = x ( {√ } { √ }) (√ )
0 g g g
exp
2
l t − exp −
l t = x 0 sinh
l t .
Bewegung einer Ladung im elektromagnetischen Feld
§ 1026 Wir sind der Bewegung einer Ladung in einem Magnetfeld bereits in § 134 begegnet.
Dort wurde die Gleichung für die Helixbahn kommentarlos als Lösung der Bewegungsgleichung
angegeben, hier wollen wir diese Lösung aus der Differentialgleichung bestimmen.
§ 1027 Die Bewegung eines geladenen Teilchens der Ladung q und der Geschwindigkeit ⃗v
in einem elektromagnetischen Feld mit der magnetischen Flussdichte B ⃗ und der elektrischen
Feldstärke E ⃗ wird durch die Lorentz Kraft beschrieben
⃗F L = m d⃗v ( )
dt = q ⃗E + ⃗v × B ⃗ .
Wir werden uns auf den einfachen Fall des homogenen Feldes beschränken, d.h. weder das
elektrische noch das magnetische Feld hängen vom Ort ab: E ⃗ = const und B ⃗ = const.
§ 1028 Rein formal führt diese Bewegungsgleichung einen neuen Aspekt ein: im Gegensatz
zu den voran gegangenen Beispielen ist hier die Bewegung nicht durch eine skalare Geschwindigkeit
v sondern durch eine vektorielle Geschwindigkeit ⃗v beschrieben. Komponentenweise
ergibt sich für die Bewegungsgleichung
m ˙v x = q(E x + v y B z − v z B y ) ,
m ˙v y = q(E y + v z B x − v x B z ) ,
m ˙v z = q(E z + v x B y − v y B x ) .
Das sind jetzt zwar drei skalare Bewegungsgleichungen. Wir können jedoch nicht jede dieser
skalaren Bewegungsgleichungen mit den uns bisher bekannten Konzepten einzeln lösen, da die
Bewegungsgleichungen nicht unabhängig von einander sind: die erste Gleichung ist zwar eine
Bestimmungsgleichung für die x-Komponente der Geschwindigkeit, enthält jedoch explizit
auch die beiden anderen Komponenten von ⃗v und entsprechend für die anderen Gleichungen.
Um die jeweils anderen Geschwindigkeitskomponenten einsetzen zu können, müssen wir die
anderen Gleichungen gleichzeitig lösen. Die vektorielle Form der Bewegungsgleichung hat
uns damit auf ein System von drei gekoppelten Differentialgleichungen geführt. Die Lösung
derartiger Gleichungssysteme werden wir in Abschn. 8.4.1 genauer betrachten.
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007