Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

418 KAPITEL 11. PARTIELLE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
Abbildung 11.7: Eigenmoden einer rechteckigen
Membran: A 11 , A 12 , A 13 und A 22
§ 1548 Da die Separationskonstanten durch (11.17) verknüpft sind, gilt
β nm = √ √
n
p 2 n + qm 2 2
= π
a 2 + m2
b 2 mit m, n = 1, 2, 3 . . . .
Da gilt
√
n
2
ω mn = β mn c = cπ
a 2 + m2
b 2 mit m, n = 1, 2, 3 . . . ,
erhalten wir für den zeitabhängigen Teil der Lösung
T mn (t) = γ 5,mn cos(ω mn t) + γ 6,mn sin(ω mn t) .
Für die vollständige Lösung müssen wir die Lösungen entsprechend des Separationsansatzes
wieder zusammenfügen und erhalten
∞∑ ∞∑
∞∑ ∞∑
( nπx
) ( mπx
)
A(x, y, t) = A mn (x, y, z, t) = (a mn cos(ω nm t)+b nm sin(ω nm t)) sin sin
a b
n=1 m=1
n=1 m=1
Wie bei der schwingenden Saite entstehen die Schwingungen der rechteckigen Membran durch
Überlagerung der verschiedenen Eigenschwingungen, daher die doppelte Summation. Einige
der Eigenmoden sind in Abb. 11.7 dargestellt.
.
§ 1549 Auch bei der Membran gibt es Schwingungsknoten, d.h. Bereiche in denen keine
Auslenkung stattfindet. Während auf der schwingenden Saite die Schwingungsknoten Punkte
sind, ordnen sie sich auf der Membran zu Knotenlinien an.
§ 1550 Die allgemeine Lösung (1548) enthält noch Integrationskonstanten, die aus den Anfangsbedingungen
zu bestimmen sind. Als Beispiel betrachten wir eine anfängliche maximale
Auslenkung der Form
A(x, y, 0) = sin
( πx
a
)
sin
( πy
)
. (11.18)
b
Sie entspricht der Grundschwingung (oberes Teilbild in Abb. 11.7), in der Lösung wird daher
auch nur die Grundschwingung auftreten. Formal bedeutet dies, dass sich die Lösung (1548)
reduziert auf
A 11 = (a 11 cos(ω 11 t) + b 11 sin(ω 11 t)) sin
( πx
)
sin
a
( πx
)
. (11.19)
b
§ 1551 Da die Membran aus der Ruhe losgelassen wird, ist die zweite Anfangsbedingung
Ȧ(x, y, 0) = 0. Daher reduziert sich (11.19) auf
( πx
) ( πx
)
Ȧ 11 = (−ω 11 a 11 sin(ω 11 t) + ω 11 b 11 cos(ω 11 t)) sin sin ,
a b
bzw. nach Einsetzen der Anfangsbedingung
0 = (−ω 11 a 11 sin(ω 11 0) + ω 11 b 11 cos(ω 11 0)) sin
( πx
) ( πx
)
sin ,
a b
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode