Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

348 KAPITEL 8. MATRIZEN
Kontrollfragen
Kontrollfrage 31 ....
Fragen
Frage 87 Erläutern Sie den Zusammenhang zwischen linearen Gleichungssystemen und Matrizen.
Frage 88 Was sind Transponierte und Inverse einer Matrix?
Frage 89 Wie ist die Spur einer Matrix definiert, welche Bedeutung hat sie?
Frage 90 Was ist eine orthogonale Matrix? Welche Eigenschaften haben Eigenwerte und
Eigenvektoren einer orthogonalen Matrix?
Frage 91 Was ist ein Tensor?
Frage 92 Welcher Zusammenhang besteht zwischen Transformationen und orthogonalen
Matrizen?
Frage 93 Geben Sie Beispiele für Transformationsmatrizen.
Frage 94 Wie werden die Eigenwerte und -vektoren einer Matrix bestimmt? Welche Bedeutung
haben sie?
Frage 95 Was ist die Vollständigkeitsrelation? Welche Bedeutung hat sie?
Frage 96 Geben Sie einige Beispiele für Eigenwertprobleme in der Physik.
Aufgaben
Rechentechnik
Aufgabe 148 Berechnen Sie mit den Matrizen
⎛
( )
1 −1 2
A =
, B = ⎝ 1 4 −1
⎞ ⎛
⎞
−3 4 −1
5 2 4 ⎠ , C = ⎝ 3 2 −2 ⎠
−2 3 −3
−3 5 3
2 4 1
die Ausdrücke D = (AB)C; E = A(BC); F = A(B + C) T ; G = (AB) T .
Aufgabe 149 Bestimmen Sie die Transponierten und die Determinanten der folgenden Matrizen:
⎛
( )
( )
1 3
1 2
A =
B = , C = ⎝ 1 4 5
⎞
2 2 1 ⎠ ,
2 4
2 4
⎛
4 2 3
D = ⎝ 3 6 1
⎞ ⎛
7 4 8 ⎠ , E = ⎝ 1 2 4
⎞ ⎛
3 5 3 ⎠ , F = ⎝ 1 5 1
⎞
4 2 2 ⎠ .
2 9 5
4 2 1
1 3 7
Aufgabe 150 Bilden Sie aus den folgenden Vektoren jeweils das Skalarprodukt, das Kreuzprodukt
und das dyadische Produkt: (a) ⃗a = (2, 2, 3) und ⃗ b = (−1, 2, −3); (b) ⃗a = (3, 5, 4)
und ⃗ b = (2, 3, −6); (c) ⃗a = (−2, 5, −3) und ⃗ b = (−1, −3, −2).
Aufgabe 151 Für welchen reellen Parameter λ verschwinden die Determinanten
|D 1 | =
∣ 1 − λ 2
1 − λ 2 0
1 −2 − λ ∣ |D 2 | =
0 3 − λ 1
∣ 0 0 2 − λ ∣
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode