Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

20 KAPITEL 1. VEKTOREN
Für die Richtungswinkel gilt
cos 2 α x + cos 2 α y + cos 2 α z =
oder in kompakter Schreibweise
∑
cos 2 α i = ∑ ( ai
)
= 1 .
a
( ax
a
) 2
+
( ay
a
) 2 ( az
) 2
+ = 1
a
Verständnisfrage 5 Begründen Sie, warum die Summe der quadrierten Richtungswinkel 1
ergibt.
Skalarprodukt: Lorentz-Kraft und Energieerhaltung
§ 109 Die Winkelbeziehungen werden in der Physik häufig im Vorbeigehen und ohne explizite
Angabe des Winkels angewendet. Ein geladenes Teilchen der Masse m, der Ladung q und der
Geschwindigkeit ⃗v unterliegt in einem magnetischen Feld mit Flussdichte ⃗ B der Lorentz-Kraft
⃗F L = m d⃗v
dt = q⃗v × B ⃗ .
Damit ist das Teilchen nicht einer konstanten Kraft ausgesetzt, wie z.B. im Schwerefeld der
Erde, sondern die Teilchengeschwindigkeit bestimmt einerseits die auf das Teilchen wirkende
Kraft, wird aber andererseits durch die von der Kraft erzeugte Beshcleunigung verändert.
Ändert sich dabei die kinetische Energie Teilchens oder ist die Beschleunigung auf eine
Änderung der Bewegungsrichtung beschränkt? Skalare Multiplikation der Bewegungsgleichung
mit ⃗v liefert
m⃗v · d⃗v (
dt = q⃗v · ⃗v × B ⃗ )
.
Die linke Seite, das Produkt aus dem Vektor ⃗v und seiner Ableitung d⃗v/dt, ist die Hälfte der
Ableitung des quadrierten Vektors, wie sich durch Differenzieren des mittleren Terms in
⃗v · d⃗v
dt = 1 d(⃗v · ⃗v)
= d⃗v 2
2 dt dt
zeigen lässt. Damit steht auf der linken Seite der Ausdruck 1 / 2md⃗v 2 /dt. Da die Masse und
der Faktor 12 Konstanten sind, können sie in die Ableitung hinein gezogen werden, ( so dass
d
wir den Ausdruck als die zeitliche Ableitung der kinetischen Energie erkennen: 1
dt 2 m⃗v 2) .
Auf der rechten Seite der Ausgangsgleichung steht ein Produkt der Form ⃗v · (⃗v × B). ⃗ ⃗v × B ⃗
ist ein Vektor, der nach Definition des Vektorprodukts senkrecht auf ⃗v steht, (⃗v × B) ⃗ ⊥ ⃗v,
so dass das Skalarprodukt aus ⃗v und ⃗v × B ⃗ verschwindet. Schreiben wir die so gefundenen
rechten und linken Seiten auf, so erhalten wir
d
dt
( 1
2 m⃗v 2 )
= dE kin
dt
= 0 ,
d.h. die Bewegung eines geladenen Teilchens in einem magnetischen Feld ist zwar eine beschleunigte
Bewegung in dem Sinn, dass sich die Bewegungsrichtung ändert. Die kinetische
Energie bleibt jedoch erhalten. Oder in anderen Worten: die Lorentz-Kraft verrichtet keine
Arbeit an dem geladenen Teilchen.
§ 110 Diese Aussage gilt übrigens nicht nur für die Lorentz-Kraft sondern allgemein für jede
Kraft, die senkrecht zur Bewegungsrichtung des Teilchens wirkt. Das ist bei der Lorentz-
Kraft offensichtlich der Fall, da sie über ⃗v × ⃗ B definiert ist und damit automatisch senkrecht
auf ⃗v steht. Allerdings wurde auch nur dieser für die Lorentz-Kraft spezifische Punkt bei der
obigen Herleitung verwendet, so dass sich die Aussage verallgemeinern lässt: wirkt eine Kraft
senkrecht zur Bewegungsrichtung des Teilchens, so bewirkt sie zwar eine Beschleunigung im
Sinne einer Änderung der Bewegungsrichtung, nicht jedoch eine Änderung der kinetischen
Energie des Teilchens. Ein Beispiel ist die gleichförmige Kreisbewegung: hier muss gemäß
Newtons erstem Axiom eine Kraft wirken, die das Teilchen auf die Kreisbahn zwingt; ein
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode