Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

Kapitel 7
Gewöhnliche Differentialgleichungen
I don’t know what I may seem to the world, but as to
myself, I seem to have been only like a boy playing on the
sea-shore and diverting myself in now and then finding a
smoother pebble or a prettier shell than ordinary, whilst
the great ocean of truth lay undiscovered.
I. Newton
§ 877 Differentialgleichungen sind Bestimmungsgleichungen für eine Funktion. Se enthalten
den Zusammenhang zwischen einer oder mehreren Ableitungen einer Funktion und der Funktion
selbst, ohne jedoch diese Funktion explizit zu benennen. Ähnlich der Integration muss
beim Lösen der Differentialgleichung (DGL) aus der Änderung der Funktion auf diese zurück
geschlossen werden, jedoch ist hier die Änderung nicht explizit gegeben sondern mit Hilfe der
gesuchten Funktion formuliert. Auf Grund dieses Bezugs zur Änderung der Funktion wird
der Lösungsweg für eine DGL als Integration bezeichnet, die Lösung einer DGL als Integral.
§ 878 In diesem Kapitel werden wir uns auf gewöhnliche Differentialgleichungen beschränken,
d.h. Differentialgleichungen, die Bestimmungsgleichungen für Funktionen einer Variablen
sind. In ihnen treten daher nur gewöhnliche Ableitungen d/dt auf. Partielle Differentialgleichungen
als Bestimmungsgleichungen für Funktionen mehrerer Variablen (Felder) werden
in Kap. 11 behandelt.
§ 879 Qualifikationsziele: nach Durcharbeiten dieses Kapitels sollen Sie in der Lage sein
• gewöhnliche Differentialgleichungen zu klassifizieren und an Hand der Klassifikation eine
Lösungsstrategie zu erarbeiten,
• homogene Differentialgleichungen erster Ordnung mit Hilfe eines Separationsansatzes zu
lösen,
• homogene Differentialgleichungen mit Hilfe eines Exponentialansatzes zu lösen,
• Lösungen für die Inhomogenität einer Differentialgleichung zu finden,
• elementare Differentialgleichungen mit physikalischem Hintergrund aufzustellen (insbesondere
Bewegungsgleichung),
• gewöhnliche Differentialgleichungen in MatLab numerisch zu lösen – sei es mit den Mat-
Lab eigenen Algorithmen oder selbst gestrickten.
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