Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

11.3. WELLENGLEICHUNG 413
Abbildung 11.3: Grundschwingung und
Oberschwingungen einer Saite
Die Größen auf der linken Seite hängen nur von der räumlichen Koordinate ab, die auf
der rechten Seite nur von der Zeit. Die beiden Seiten können nur dann für beliebige x und
beliebige t gleich sein, wenn sie jeweils konstant sind. Diese Separationskonstante nennen wir
−β 2 . Getrennte Betrachtung von linker und rechter Seite von (11.7) liefert zwei gewöhnliche
DGLs zweiter Ordnung
X ′′ (x) + β 2 X(x) = 0 und T ′′ (t) + β 2 c 2 T (t) = 0 .
Ihre Struktur entspricht der Schwingungsgleichung (7.16) des linearen harmonischen Oszillators.
Die Lösungen dieser Gleichung müssen also eine (7.17) entsprechende Form haben:
X(x) = γ 1 cos(βx) + γ 2 sin(βx) und
T (t) = γ 4 cos(ωt) + γ 3 sin(ωt) mit ω = βc . (11.8)
Verständnisfrage 28 Gibt es einen vernünftigen Grund, die Separationskonstante gerade
−β 2 zu nennen? Was würde sich ändern, wenn man sie willkürlich α genannt hätte?
§ 1533 Die Separationskonstante β lässt sich aus den Randbedingungen X(0, t) = X(l, t) =
0 bestimmen. Einsetzen in die obere Gleichung von (11.8) liefert γ 1 = 0: die Kosinus-Terme
müssen verschwinden, da einerseits cos(0) = 1 und andererseits die Enden der Saite eingespannt
sind und somit keine Auslenkung erfolgen kann. Da beide Enden eingespannt sind,
muss der Faktor β so gewählt sein, dass sich für x = l wieder sin(bl) = 0 ergibt. Dann muss
gelten lβ = nπ oder
β n = nπ
l
mit n = 1, 2, 3 . . . ,
da es unendlich viele Moden für eine Schwingung einer Saite der Länge l gibt; bei allen
muss die Wellenlänge ein ganzzahliger Teiler der Doppelten Saitenlänge sein. Die räumliche
Abhängigkeit der Lösung sind die Eigenmoden
( nπx
)
X n (x) = γ 2n sin .
l
Entsprechend erhalten wir auch für die Frequenz unendlich viele Lösungen
ω n = β n c = nπ c mit n = 1, 2, 3 . . . .
l
§ 1534 Eine einzelne Lösung der PDGL ist daher
( nπx
)
A n (x, t) = X n (x) T n (t) = (γ 1,n cos(ω n t) + γ 2,n sin(ω n t)) sin
( l
nπx
)
= (a n cos(ω n t + ϕ n )) sin ;
l
die vollständige Lösung erhalten wir durch Summation über alle n
A(x, t) =
∞∑
n=1
(a n cos(ω n t + ϕ n )) sin nπx
l
. (11.9)
§ 1535 Das Ergebnis ist eine stehende Welle (die Schwingungsknoten bleiben an einem festen
Ort), die sich aus der Überlagerung der Grundschwingung A 1 und den Oberschwingungen
A i mit i > 1 ergibt. Die Grundschwingung und einige Oberschwingungen sind in Abb. 11.3
dargestellt.
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007