Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

410 KAPITEL 11. PARTIELLE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
Diese Differentialgleichung ist eine Bestimmungsgleichung für das elektrische Feld ⃗ E(⃗r, t), die
die zweite Ableitung nach den räumlichen Koordinaten mit der zweiten zeitlichen Ableitung
verknüpft. Der Proportionalitätsfaktor ist mit der Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle
verknüpft: µ 0 ε 0 = c −2 .
§ 1518 Im eindimensionalen Fall reduziert sich (11.2) auf
∂ 2 E
∂x 2
= 1 c 2 ∂ 2 E
∂t 2 . (11.3)
§ 1519 Verschwinden die Ladungs- und Stromdichten nicht, so lässt sich eine formal ähnliche
Gleichung für das elektrische Potential und das Vektorpotential aufstellen, aus dem sich
die Felder bestimmen lassen. Dazu führen wir ein Vektorpotential A ⃗ ein mit B ⃗ = ∇ × A. ⃗
Eingesetzt in das Induktionsgesetz (10.29) ergibt sich
∇ × ⃗ E = − ∂ ∂t
(
∇ × A ⃗ )
⇒ ∇ ×
(
⃗E + ∂ ⃗ A
∂t
)
= 0 .
Da die Rotation des Feldes ⃗ E + ∂ ⃗ A/∂t verschwindet, lässt sich dieses als Gradient eines Potentials
schreiben: ⃗ E + ∂ ⃗ A/∂t = −∇U mit U als dem nicht-statischen elektrischen Potential.
Damit erhalten wir für das elektrische und das magnetische Feld die Ausdrücke
⃗B = ∇ × ⃗ A und ⃗ E = −∇U −
∂ ⃗ A
∂t .
Daraus lässt sich eine Wellengleichung für das Vektorpotential ableiten als
1 ∂ 2 A ⃗
c 2 ∂t 2 − ∇2 A ⃗ = µ0 ⃗j , (11.4)
d.h. wir erhalten im Gegensatz zu (11.3) eine inhomogene partielle Differentialgleichung mit
den felderzeugenden Quellen (Strömen) als Inhomogenität. Außerdem enthält diese Gleichung
nicht das Feld sondern das Vektorpotential, d.h. eine Größe, aus der sich das Feld durch
Anwendung des ∇-Operators ergibt.
11.1.3 Mathematische Motivation
11.2 Ordnung im Zoo
§ 1520 Partielle Differentialgleichungen (PDGLs) erlauben die Bestimmung von Funktionen
in Abhängigkeit von verschiedenen räumlichen Variablen und der Zeit: A(⃗r, t). Die wichtigsten
PDGLs in der Physik beinhalten die zweite räumliche Ableitung, ausgedrückt durch den
Laplace Operator. Der Ausdruck ∆A bestimmt damit die linke Seite der Gleichung. Auf
der rechten Seite der PDGL können verschiedenen Terme auftreten. Werden stationäre Felder
betrachtet, so kann auf der rechten Seite eine null stehen (homogene PDGL, Laplace
Gleichung) oder eine vom Ort abhängige Funktion (Poisson Gleichung). Bei zeitabhängigen
Feldern enthält die rechte Seite zeitliche Ableitungen des Feldes (Wellengleichung, Diffusionsgleichung).
11.2.1 Beispiele für partielle Differentialgleichungen
§ 1521 Die einfachste partielle Differentialgleichung ist die Laplace Gleichung
∆A = 0 , (11.5)
eine Bestimmungsgleichung für ein Potential unter vorgegebenen Randbedingungen. Diese
DGL enthält keine zeitliche Abhängigkeit, sie beschreibt ein stationäres Potential. Damit ist
das sich aus dem Potential ergebende Feld ebenfalls stationär. Physikalische Anwendungen
sind ein Temperaturfeld, das Potential einer stationären Potentialströmung oder das elektrostatische
Potential in einem Raumbereich, der keine Ladungen enthält.
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode