Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

2.2. FOLGEN 55
Abbildung 2.4:
zum Grenzwert
Veranschaulichung
§ 224 Die Existenz genau eines Häufungspunktes im Endlichen besagt, dass fast alle Glieder
der Folge in einer beliebig kleinen Umgebung um diesen Häufungspunkt liegen müssen. Dann
müssen ab einem bestimmten n ∈ N alle Glieder a n der Folge innerhalb einer Umgebung ε um
diesen Häufungspunkt liegen, vgl. Abb. 2.4. Egal, wie klein dieses ε vorgegeben wird, es lässt
sich immer ein n finden, ab dem alle a n innerhalb einer ε-Umgebung um den Häufungspunkt
liegen.
§ 225 Für die harmonische Folge lässt sich zu jedem noch so kleinen ε das zugehörige n aus
dem Bildungsgesetz der Folge bestimmen zu
1
n ε
< ε ⇔ n ε > 1 ε .
Mit diesem Ansatz kann der Grenzwert einer Folge auf folgende Weise definiert werden:
Definition 18 Eine Zahlenfolge (a n ) strebt gegen einen Grenzwert A, wenn für jede positive
Zahl ε von einem gewissen n ε an |a n − A| < ε gilt.
Hat eine Folge den Grenzwert Null, so wird sie als Nullfolge bezeichnet.
§ 226 Mit Grenzwerten lässt sich wie mit reellen Zahlen rechnen. Für zwei Folgen (a n ) und
(b n ) mit den Grenzwerten A = lim a n und B = lim b n gelten folgende Rechenregeln:
n→∞ n→∞
• Summation und Multiplikation mit einem Skalar α bzw. β:
lim (αa n + βb n ) = α lim a n + β lim b n .
n→∞ n→∞ n→∞
• Produkte und Quotienten von Folgen (letzteres erfordert lim
n→∞ b n ≠ 0):
lim (a n b n ) = lim a n
n→∞ n→∞
§ 227 Die Zahlenfolge
(
a n = 1 + 1 ) n
n
mit den Gliedern
lim b a n
n und lim =
n→∞ n→∞ b n
lim a n
n→∞
lim b .
n
n→∞
a 1 = 2 , a 2 = 2.25 , a 3 = 2.37 , . . . a 10 = 2.59 . . . a 100 = 2.70 . . . a 1000 = 2.71692
hat den Grenzwert a ∞ = 2.718281 = e, die Euler Zahl. In diesem Beispiel haben wir eine
Folge zur Definition einer transzendenten Zahl verwendet.
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007