Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

16 KAPITEL 1. VEKTOREN
✻ (⃗a ×⃗ b)
Abbildung 1.9:
Orientierung der
Vektoren im Rechtssystem
✠⃗a
⃗ b
✲
§ 94 Können wir die letztere Beziehung zwischen den verschiedenen Einheitsvektoren in eine
ähnlich kompakte Form bringen wie beim Skalarprodukt? Mit etwas Überlegen können wir
zumindest alle möglichen Relationen für die Vektorprodukte der Einheitsvektoren auflisten:
⃗e x × ⃗e x = 0 , ⃗e x × ⃗e y = ⃗e z , ⃗e x × ⃗e z = −⃗e y ,
⃗e y × ⃗e x = −⃗e z , ⃗e y × ⃗e y = −0 , ⃗e y × ⃗e z = ⃗e x ,
⃗e z × ⃗e x = ⃗e y , ⃗e z × ⃗e y = −⃗e x , ⃗e z × ⃗e z = 0 .
Das Vektorprodukt eines Einheitsvektors mit sich selbst verschwindet: formal, weil der eingeschlossene
Winkel 0 beträgt und das Vektorprodukt (1.6) wegen sin 0 = 0 verschwindet.
Anschaulich, weil der Vektor des Vektorprodukts senkrecht auf den beiden Ausgangsvektoren
steht. Sind diese parallel oder identisch, so gibt es unendlich viele Möglichkeiten, d.h. der
senkrecht stehende Vektor ist nicht eindeutig definiert. Die Produkte eines Einheitsvektors
mit einem anderen ergeben in einem Orthonormalsystem jeweils den dritten Einheitsvektor;
sein Vorzeichen ist durch die Forderung nach dem Rechtssystem bestimmt. Ein positives
Vorzeichen ergibt sich bei ⃗e z = ⃗e x × ⃗e y und allen Produkten, in denen die Indizes zyklisch
vertauscht, d.h. durchgeschoben, sind:
⃗e z = ⃗e x × ⃗e y , ⃗e x = ⃗e y × ⃗e z und ⃗e y = ⃗e z × ⃗e x .
Da das Vektorprodukt antikommutativ ist, liefert Vertauschen der Vektoren auf den jeweils
linken Seiten rechts den entgegen gesetzten Einheitsvektor und damit die fehlenden Elemente
der obigen Übersicht. Mit dem Levi–Civita-Symbol
{ +1 falls ijk = 123, 231, 312
ε ijk = −1 falls ijk = 132, 213, 321
0 sonst
erhalten wir für die Einheitsvektoren in Kurzschrift
⃗e i × ⃗e j = ε ijk ⃗e k .
Während das Kronecker-Symbol in Mathematik und Physik vielfach verwendet wird, ist die
Anwendung des Levi–Civita-Symbols zumindest in der Physik eher eingeschränkt.
§ 95 Für das Vektorprodukt gelten die folgenden Rechenregeln:
• Das Vektorprodukt ist nicht kommutativ, da die beiden Multiplikanden zusammen mit
dem Produkt ein Rechtssystem bilden – bei Vertauschung der Multiplikanden weist das
Produkt in die entgegen gesetzte Richtung. Daher gilt ein Anti-Kommutativgesetz:
⃗a × ⃗ b = − ⃗ b × ⃗a .
• Bilinearität oder Homogenität (Assoziativgesetz bei Multiplikation mit einem Skalar):
(α⃗a) × ⃗ b = ⃗a × (α ⃗ b) = α⃗a × ⃗ b .
Ein Assoziativgesetz beim Kreuzprodukt zwischen drei beliebigen Vektoren gilt nicht:
⃗a × ( ⃗ b × ⃗c) ≠ (⃗a × ⃗ b) × ⃗c .
• Distributivgesetz:
⃗a × ( ⃗ b + ⃗c) = ⃗a × ⃗ b + ⃗a × ⃗c .
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode