Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

212 KAPITEL 6. KOMPLEXE ZAHLEN
§ 826 Auch der Körper der reellen Zahlen R erfüllt alle obigen Kriterien. Der Unterschied
zwischen den beiden Körpern betrifft die Möglichkeit der Anordnung der Zahlen: die reellen
Zahlen sind geordnet, d.h. zwei beliebige Zahlen lassen sich durch eine der drei Relationen
oder = ordnen. Die reellen Zahlen bilden daher einen geordneten Körper. Für komplexe
Zahlen lässt sich zwar Gleichheit feststellen, die Relationen < und > sind jedoch nicht
definiert. C bildet daher zwar einen Körper jedoch keinen geordneten Körper.
6.4.4 Komplexe Zahlen ohne imaginäre Zahl
§ 827 In der Mathematik gibt es eine algebraische Darstellungsweise komplexer Zahlen als
geordnete Paare reeller Zahlen, die die Verwendung der imaginären Einheit überflüssig macht.
Dadurch sind etwaige Einwände gegen die Bedeutung oder eher die mangelnde Bedeutung
von √ −1 aus dem Weg geräumt.
§ 828 Für jedes Paar geordneter Zahlen (x, y) ∈ C gelten zwei Verknüpfungen mit den
folgenden Eigenschaften:
• Addition:
(x 1 , y 1 ) + (x 2 , y 2 ) = (x 1 + x 2 , y 1 + y 2 ) (6.15)
• Multiplikation:
(x 1 , y 1 ) × (x 2 , y 2 ) = (x 1 x 2 − y 1 y 2 , x 1 y 2 + y 1 x 2 ) . (6.16)
Bei der Addition (6.15) erkennen wir (6.5) wieder, lediglich die imaginäre Einheit muss nicht
mit geschrieben werden; bei der Multiplikation erkennen wir (6.6). 8 Aus zwei fundamentalen
komplexen Zahlen, (1, 0) und (0, 1) lassen sich durch Addition und Multiplikation mit einem
Skalar alle komplexen Zahlen darstellen:
(a, b) = a · (1, 0) + b · (0, 1) .
§ 829 Die fragwürdige Gleichung i 2 = −1 lässt sich in dieser Notation elegant umgehen:
i 2 = −1 → (0, 1) × (0, 1) = (−1, 0) .
Daraus ergibt sich eine einfache geometrische Interpretation der Multiplikation, wie bereits
im Zusammenhang mit der Multiplikation in Polarform erwähnt. Die einfache Multiplikation
von (x, y) ∈ Z mit (−1, 0) ergibt nach Multiplikationsregel (6.16)
(−1, 0) × (x, y) = (−x, −y) .
Die Multiplikation mit (−1, 0) entspricht geometrisch einer Drehung um π um den Ursprung.
Wegen (0, 1) × (0, 1) = (−1, 0) kann die Multiplikation mit (−1, 0) auch als eine Multiplikation
mit (0, 1) gefolgt von einer Multiplikation mit (0, 1) interpretiert werden. Auch diese
beschreiben jeweils eine Drehung; also liegt es nahe, dass die Multiplikation mit (0, 1) einer
Drehung um π/2 entspricht.
§ 830 Die in (6.7) eingeführte Definition des Betrages lässt sich damit ebenfalls geometrisch
veranschaulichen. Die komplexe Zahl (r, φ) wird durch Multiplikation mit (r, −φ) um den
Winkel −φ gedreht, so dass sie auf die reelle Achse fällt. Außerdem wird sie um den Faktor
r gestreckt, so dass sie den Betrag r 2 hat.
8 Die Multiplikationsregel bestätigt nochmals, das wir komplexe Zahlen nicht als Vektoren auffassen sollten:
zwar entspricht die Additionsregel (6.15) der Vektorsumme, in der Multiplikationsregel steckt jedoch weder
das Skalar- noch das Vektorprodukt, nicht einmal das dyadische Produkt.
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode