Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

358 KAPITEL 9. VERALLGEMEINERTE FUNKTIONEN
4. Die Integration in Glg. (9.4) erfolgt über ein unendliches Intervall. Bei der Integration
über ein endliches Intervall gilt
∫ b
{ f(x0 ) a < x 0 < b
f(x) δ(x − x 0 ) dx =
1
2 f(x 0) a = x 0 oder b = x 0
(9.5)
0 x 0 < a < b oder a < b < x 0
a
Diese Eigenschaft können wir uns aus der ersten Eigenschaft veranschaulichen: die δ
Funktion ist nur dann interessant, wenn das Argument Null wird. Liegt der betrachtete
Wert x 0 außerhalb des Integrationsintervalls, so ist die δ-Funktion überall Null und das
Integral verschwindet. Liegt x 0 dagegen innerhalb des Integrationsintervalls, so liegen alle
von Null verschiedenen Beiträge innerhalb des Integrationsintervalls, d.h. die Situation
ist äquivalent einer Integration von −∞ bis ∞. Liegt x 0 auf der Grenze des Integrationsintervalls,
so wird nur die Hälfte der δ-Funktion berücksichtigt, die im Intervall liegt.
5. Eine glatte, d.h. stetig differenzierbare Funktion g, die mit der δ Funktion multipliziert
wird, kann durch ihren Wert an der Nullstelle x 0 der Delta Funktion ersetzt werden:
g(x) δ(x − x 0 ) = g(x 0 ) δ(x − x 0 ) . (9.6)
Dieser Zusammenhang folgt direkt aus der Definition der δ Funktion.
6. Es ist (x − x 0 ) δ(x − x 0 ) = 0: δ(x − x 0 ) verschwindet für alle x ≠ x 0 . Bei x = x 0 ist aber
der erste Faktor gleich Null.
9.2.4 Delta Funktion einer Funktion
§ 1335 In Eigenschaft 1 der obigen Liste haben wir die δ Funktion als Funktion einer Funktion
h(x) betrachtet, die überall dort verschwindet, wo h(x) ≠ 0. Der betrachtete Ausdruck
δ/x − x 0 ) ist also nur ein Spezialfall der δ Funktion eben für h(x) = x − x 0 .
§ 1336 Betrachten wir jetzt eine allgemeine Funktion h(x). Da die δ-Funktion nur dann von
Null verschieden ist, wenn das Argument Null wird, ist der Ausdruck δ(h(x)) nur an den
Nullstellen von h(x) von Null verschieden. Also lässt sich δ(h(x)) auch darstellen über die δ
Funktionen an den Nullstellen x n,i von h(x):
δ(h(x)) =
N∑
c i δ(x − x n,i )
i=1
geben mit N als der Zahl der Nullstellen der Funktion und c i als Faktoren, die zur Normierung
benötigt werden. Die Zahl N der Nullstellen sollte sich problemlos bestimmen lassen, wie aber
bestimmen wir die Vorfaktoren c i ?
§ 1337 Beginnen wir mit einem einfacheren Ausdruck ∫ ∞
−∞ δ(c(x − x 0))f(x)dx. Hier ist das
Argument der δ Funktion eine Funktion h(x) = c(x − x 0 ), unterscheidet sich also nur um
einen konstanten Faktor c von der bisher verwendeten Funktion x − x 0 . Mit der Substitution
y = cx lässt sich das Integral schreiben als
∫ ∞
−∞
δ(c(x − x 0 )) f(x) dx =
∫ ∞
−∞
( y
) { 1 1
δ(y − cx 0 ) f
c c dy = c f(x 0) für c > 0
− 1 c f(x 0) für c < 0 = 1
|c| f(x 0) .
Durch Ausklammern von c = −1 erhalten wir damit auch formal, dass die δ Funktion eine
gerade Funktion ist, δ(x − x 0 ) = δ(x 0 − x).
§ 1338 Betrachten wir nun eine allgemeine Funktion h(x) als Argument der δ Funktion.
Auch hier ist es ausreichend, die Umgebung der Nullstelle x n von h(x) zu betrachten. Um
x n kann die δ Funktion in eine Taylor Reihe (2.6) entwickelt werden:
h(x) = h(x n ) +
[ dh
dx
]
x n
(x − x n ) + 1 2
[ d 2 ]
h
dx 2
x n
(x − x n ) 2 + . . . .
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode