Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

8 KAPITEL 1. VEKTOREN
• das Assoziativgesetz
α(β⃗a) = (αβ)⃗a = β(α⃗a) = αβ⃗a
• und das Kommutativgesetz
α⃗a = ⃗aα .
Die beiden Verknüpfungen Addition und Multiplikation mit einem Skalar werden verknüpft
durch
• das Distributivgesetz
(α + β)(⃗a + ⃗ b) = α⃗a + β⃗a + α ⃗ b + β ⃗ b .
Damit bilden die Vektoren einen Körper bezüglich der beiden Verknüpfungen Addition und
Multiplikation mit einem Skalar.
1.3 Krummlinige Koordinatensysteme
§ 63 Für einige physikalische Probleme sind kartesische Koordinaten unhandlich. Bei einer
Kreisbewegung ändern sich in ihnen beide Komponenten: ⃗r(t) = (x(t), y(t)). Diese Bewegung
kann auch einfacher beschrieben werden: der Abstand von der Drehachse, und damit
der Betrag des Ortsvektors, ist konstant, veränderlich ist nur der Drehwinkel ϕ(t), d.h. eine
Darstellung des Ortsvektors als ⃗r(t) = (|r|, ϕ(t)) hätte den Vorteil, dass nur eine der
Komponenten veränderlich ist. Polarkoordinaten ermöglichen eine solche Darstellung.
1.3.1 Polarkoordinaten
§ 64 Polarkoordinaten bilden ein zweidimensionales Koordinatensystem. In der kartesischen
Darstellung werden die beiden Komponenten des Vektors durch die Abstände des Punktes
vom Ursprung entlang der x- und y-Achse gebildet. In Polarkoordinaten dagegen wird der
Abstand des Punktes vom Ursprung, d.h. der Betrag des Vektors, als eine Koordinate verwendet.
Die zweite Koordinate ist der Winke ϕ, den der Vektor mit der x-Achse bildet. Aus
Abb. 1.2 lässt sich der Zusammenhang zwischen kartesischer Darstellung und Polarkoordinaten
entnehmen
mit
( )
x
⃗r = =
y
r = √ x 2 + y 2 =
( )
r cos ϕ
= r
r sin ϕ
( )
cos ϕ
= r ⃗e
sin ϕ ⃗r
√
r 2 sin 2 ϕ + r 2 cos 2 ϕ und ϕ = arctan y x .
Dabei ist die Abstandskoordinate r stets größer gleich Null: ein Betrag kann nicht negativ
sein. Der Winkel ϕ wird im mathematischen Sinne gezählt, d.h. positive ϕ entsprechen einer
Drehung gegen den Uhrzeigersinn.
§ 65 Polarkoordinaten bilden ein krummliniges Koordinatensystem aus konzentrischen Kreisen
um den Ursprung (ϕ-Linien, auf ihnen kann der Winkel ϕ für festes r abgetragen werden)
und Strahlen, die radial vom Ursprung nach außen verlaufen (r-Linien), vgl. Abb. 1.4. Sie
bilden ein orthogonales Koordinatensystem, da sich die r- und ϕ-Linien im rechten Winkel
schneiden und damit die Einheitsvektoren ⃗e r und ⃗e ϕ senkrecht auf einander stehen.
§ 66 In Polarkoordinaten beschreiben die Einheitsvektoren ⃗e r und ⃗e ϕ die radiale und die
azimutale Komponente des Vektors. In kartesischen Koordinaten zeigt der Einheitsvektor ⃗e x
entlang der x-Achse – er weist in Richtung zunehmender Werte von x bei gleichzeitig konstanten
Werten von y und z. Entsprechend weist der Einheitsvektor ⃗e ϕ in Richtung zunehmender
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode