Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

12.2. VERTEILUNGSFUNKTIONEN 441
Abbildung 12.1:
Wahrscheinlichkeitsbaum:
an jedem der Knoten wird
einer der Äste mit einer Wahrscheinlichkeit
p i verfolgt. Die
Gesamtwahrscheinlichkeit für
das Eintreten der Ereignisse
ganz rechts ist das Produkt
der Wahrscheinlichkeiten der
einzelnen Ereignisse entlang des
Pfades; z.B. ist p(F ) = p 1 · p 5
des Systems Wahrscheinlichkeiten zuordnen. Prognosen in unsicheren Systemen kann man
mit Hilfe der Bayes’sche Statistik, dem ’
Schließen in unsicheren Systemen‘, vornehmen. Die
Grundlage ist die Bayes’sche Formel.
§ 1647 Betrachten wir dazu ein Ereignis B. Dieses trete stets in Verbindung mit genau
einem der sich paarweise ausschließenden Ereignisse A i (i=1,2,...,n) auf, d.h. die A i sind
mögliche Zwischenstationen auf dem Weg zu B. Dann ist die totale Wahrscheinlichkeit für
das Eintreten von B
n∑
p(B) = p(A i ) p(B|A i ) (12.4)
i=1
mit p(A i ) p(B|A) i als Wahrscheinlichkeit, B über A i zu erreichen.
Anschaulich bedeutet (12.4): die totale Wahrscheinlichkeit p(B) für das Eintreten des Ereignisses
B erhält man aus dem Ereignisbaum, indem man über die Wahrscheinlichkeiten aller
nach B führenden Pfade summiert.
§ 1648 Unter der Voraussetzung, dass B bereits eingetreten ist, gilt für die Wahrscheinlichkeit,
dass B über A i erreicht wurde, die Bayes’sche Formel
p(A i |B) = p(A i) p(B|A i )
n∑
. (12.5)
p(A i ) p(B|A i )
i=1
Die bedingte Wahrscheinlichkeit p(A i |B) erhält man aus dem Ereignisbaum, indem man
die Wahrscheinlichkeit längs des einzigen günstigen Pfades bestimmt und diese durch die
Wahrscheinlichkeit p(B) dividiert, die sämtliche nach B führenden Pfade berücksichtigt.
§ 1649 Ein Beispiel: eine Münze wird viermal hintereinander geworfen. Die möglichen Ergebnisse
sind in Abb. 12.2 im Entscheidungsbaum dargestellt. In der obersten Zeile sind die
Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse der entsprechenden Ebene angegeben. Wir interessieren
uns für die Ereignisse B, bei denen dreimal Kopf erscheint, wie in Abb. 12.2 markiert. Die
Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis B auftritt, ist 4/16 oder 1/4, wie man durch Abzählen
sieht. B lässt sich über 4 verschiedene Pfade A i ansteuern: KKK, KKZ, KZK und ZKK.
Die Wahrscheinlichkeiten der A i betragen jeweils p(A i ) = 1 8
. Die bedingte Wahrscheinlichkeit
1
p(B|A i ) beträgt für jedes A i 2 , so dass wir aus (12.4) erhalten p(B) = 4 1 1
8 2 = 1 4
, wie auch
anschaulich hergeleitet. Die Wahrscheinlichkeit, dass B über ein bestimmtes A i erreicht wurde,
beträgt gemäß (12.5) ( 1 1
2 8 )/ 1 4 = 1 4
, was auch anschaulich klar ist, da alle 4 Zwischenstufen
A i mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auftreten.
12.2 Verteilungsfunktionen
§ 1650 Wahrscheinlichkeitsverteilungen werden u.a. zur Charakterisierung von Messwerten
verwendet. Eine häufig verwendete Verteilung, die Gauß- oder Normalverteilung, ist uns bereits
in Abschn. 11.6.2 begegnet. Wahrscheinlichkeitsverteilungen können diskret sein, z.B.
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007