Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

B.6. MATLAB SKIPTE, FUNKTIONEN UND GUIS: QUELLCODE 509
% Differentialgleichung nach dem Runge--Kutta Verfahren. Als
% Beispiel wird die DGL xy’-y=x^2+4
clear;clf
% Festlegung von Integrationsintervall und Schrittweite
tl = 1.; % untere Grenze des Integrationsintervalls
tr = 5.; % obere Grenze des Integrationsintervalls
dt = 0.2; % Schrittweite des numerischen Schemas
fh = @(t,x) (t.^2+4+x)/t; % Definition der Funktion über ein Handle
% Erzeugen der analytischen Lösung im Integrationsintervall an den
% Stützstellen, die auch von der numerischen Lösung benutzt werden
t=[tl:dt:tr];
xanalytisch=t.^2-4+5.*t;
%%%%%%%%%%%%%%Numerische Lösung%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
x(1)=2; % Randbedingung vorgeben
for i=2:length(t);
k1=feval(fh,t(i-1),x(i-1));
k2=feval(fh,t(i-1)+dt/2,x(i-1)+dt*k1/2);
k3=feval(fh,t(i-1)+dt/2,x(i-1)+dt*k2/2);
k4=feval(fh,t(i),x(i-1)+dt*k3);
x(i)=x(i-1) + dt*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;
end
%%%%%%%%%%%%%%%Ende numerische Lösung%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Darstellung von numerischer und analytischer Lösung
subplot(2,1,1), plot(t,xanalytisch,’-r’); % analytische Lösung in rot
hold on
plot(t,x,’:ob’);
xlabel(’x-Achse’,’Fontsize’,14);
ylabel(’y-Achse’,’Fontsize’,14);
title(’Runge-Kutta Verfahren’,’Fontsize’,18);
text(1.1,55.,’rot: analytisch’);
text(1.1,50.,’blau: numerisch’);
subplot(2,1,2),plot(t,(x-xanalytisch)./xanalytisch);
xlabel(’x-Achse’,’Fontsize’,14);
ylabel(’relative Abweichung’,’Fontsize’,14);
hold off
Func: rungekutta
function [t,x] = rungekutta(f,a,b,dt,x0)
% Funktion zur Lösung einer DGL der Form dot(x)=f mit Hilfe des
% Runge-Kutta-Verfahrens 4ter Ordnung.
% Eingabe: Funktion f
% Integrationsintervall a, b
% Schrittweite dx
% Anfangswert x0
% Ausgabe: graphisch
% Vektoren t und x
% Aufruf: [t,x] = rungekutta(f,a,b,dx,x0)
t=[a:dt:b]; x(1)=x0;
for i=2:length(t);
k1=feval(f,t(i-1),x(i-1));
k2=feval(f,t(i-1)+dt/2,x(i-1)+dt*k1/2);
k3=feval(f,t(i-1)+dt/2,x(i-1)+dt*k2/2);
k4=feval(f,t(i),x(i-1)+dt*k3);
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007