Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

30 KAPITEL 1. VEKTOREN
Was ist ein Vektor?
§ 145 Eine gerade Linie ist eine Ansammlung von unendlich vielen Punkten. Einem zwischen
zwei beliebigen Punkten liegenden Segment dieser Linie können wir eine Richtung ⃗r zuordnen
und die Linie entlang dieser Richtung unendlich weit fortsetzen. Dieses Segment der geraden
Linie ist ein Vektor. Entsprechend können wir die Geradengleichung schreiben als ⃗g = ⃗r 0 +λ⃗r
mit λ ∈ R und ⃗r 0 als dem Ortsvektor eines beliebigen Punktes auf dieser Geraden.
§ 146 Und die Ebene? Zwischen jedem beliebigen Punktepaar in der Ebene lässt sich ebenfalls
ein gerichtetes Linienstück konstruieren, das vollständig in dieser Ebene liegt. Aus diesem
lässt sich eine unendlich lange Gerade konstruieren, die ebenfalls vollständig in dieser Ebene
liegt. Zwei auf diese Weise konstruierte Linien sind entweder parallel oder sie schneiden sich
innerhalb der Ebene. In letzterem Fall spannen sie die Ebene auf und alle Punkte der Ebene
können als Linearkombinationen dieser Vektoren dargestellt werden: ⃗ E = ⃗r 0 + λ⃗r 1 + µ⃗r 2 mit
⃗r 0 als einem beliebigen Punkt in der Ebene, ⃗r 1 und ⃗r 2 den Richtungen der beiden Geraden
(mit ⃗r 1 ≠ ν⃗r 2 ) und λ, µν ∈ R.
§ 147 Der dreidimensionale Raum lässt sich ebenfalls auf diese Weise konstruieren. Wieder
verwenden wir Punktepaare zur Definition der Vektoren, die diesen Raum aufspannen. Allerdings
benötigen wir jetzt drei Punktepaare, genau genommen drei Punktepaare derart, dass
durch zwei Punktepaare eine Ebene aufgespannt wird und das dritte Punktepaar eine Gerade
bildet, die nicht in dieser Ebene liegt: ⃗ R = ⃗r 0 + λ⃗r 1 + µ⃗r 2 + ν⃗r 3 mit ⃗r 0 als einem beliebigen
Punkt im Raum, ⃗r 1 , ⃗r 2 und ⃗r 3 den Richtungen der drei (linear unabhängigen) Geraden und
λ, µν ∈ R. Im kartesischen Koordinatensystem können wir wählen ⃗r 0 = 0 und ⃗r i = ⃗e i , d.h.
die Einheitsvektoren ⃗e x , ⃗e y und ⃗e z : ⃗ R = λ⃗e x + µ⃗e y + ν⃗e z = (λ, µ, µ).
§ 148 Vektoren sind die Grundbausteine in einem hierarchischen System: ein Vektor definiert
eine Gerade, zwei (geeignete) Vektoren eine Ebene, drei den Raum und n ein entsprechend
höher dimensionales Gebilde für das uns zwar die geometrische Anschauung fehlt, das aber
mathematisch eine konsequente Fortsetzung dieses Prinzips ist. Das zeigt nur, dass die geometrische
Anschauung nicht erforderlich ist und dass Vektoren und die aus ihnen und den
sie verknüpfenden Rechenregeln gebildeten Vektorräume Anwendungen haben, die weit über
die Geometrie hinausgehen. Unsere Eingangs gegebene Definition eines Vektors als gerichteter
Pfeil, der auf einen Punkt weist, ist also nur eine anschauliche Interpretation für einen
Spezialfall eines wesentlich allgemeineres Konzept.
Definition des Vektorraums
§ 149 Ein Vektorraum ist ein mathematisches Konstrukt, dass zum einen aus einer Menge
von Objekten, den Vektoren, besteht, zum anderen aus einem Satz von Rechenregeln oder
Axiomen, die die Verknüpfung dieser Objekte regeln:
Definition 10 Ein Vektorraum V besteht aus einer Menge von Objekten {⃗u, ⃗v, ⃗w, . . .}, die
als Vektoren bezeichnet werden. Zwischen den Vektoren sind die Operationen Addition und
Multiplikation mit einem Skalar λ definiert. Dabei gelten die folgenden Beziehungen:
1. Abgeschlossenheit: der Raum ist abgeschlossen im Hinblick auf die Addition und die Multiplikation
mit einem Skalar, d.h. die Ergebnisse dieser Operationen sind wieder Elemente
von V : 12
∀ ⃗u, ⃗v ∈ V : ⃗u + ⃗v ∈ V und ∀ ⃗v ∈ V ∧ ∀ λ ∈ R : λ⃗v ∈ V .
2. für die Addition gilt das Kommutativgesetz (die Addition ist kommutativ):
⃗u + ⃗v = ⃗v + ⃗a ∀ ⃗u, ⃗v ∈ V .
12 Die folgende mathematische Beziehung liest als: für alle Vektoren ⃗u und ⃗v des Vektorraums V (∀ ⃗u, ⃗v ∈ V )
gilt: die Summe ⃗u + ⃗v ist ebenfalls ein Element dieses Vektorraums (⃗u + ⃗v ∈ V ).
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode