Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

256 KAPITEL 7. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
Umschreiben liefert
u = e µ v − e λ w mit λ, µ = const ,
d.h. von drei beliebigen Lösungen der DGL zweiter Ordnung lässt sich jeweils eine als Linearkombination
der anderen schreiben. Damit sind zwei (linear unabhängige) Lösungen
ausreichend, eine Basis zu bilden.
Zwischenrechnung 37 Verifizieren Sie (7.28).
§ 969 Satz 18 hat wichtige praktische Konsequenzen. Insbesondere, wenn es möglich ist,
zwei linear unabhängige Lösungen einer DGL zu raten: dann wissen wir, dass wir durch
Linearkombination auch alle andere Lösungen erhalten, d.h. die beiden geratenen Lösungen
sind ausreichend, um den vollständigen Lösungsraum aufzuspannen. In Abschn. 7.1.1 haben
wir dies bereits intuitiv beim Raten einer Lösung für den harmonischen Oszillator verwendet.
§ 970 Betrachten wir als Beispiel die gewöhnliche lineare DGL zweiter Ordnung
t 2 ẍ − 2x = 0
Für sie lassen sich durch genaues Hinsehen als eine Lösung x 1 = t 2 und als zweite Lösung
x 2 = 1/t erkennen. Damit ergibt sich als vollständige allgemeine Lösung
x(t) = At 2 + B t .
7.7.2 Inhomogene Differentialgleichung
§ 971 Mit Hilfe des in (7.27) definierten Differentialoperators können wir die inhomogene
DGL schreiben als
D(x) = f(t)
mit f(t) als der Inhomogenität. Im Gegensatz zur homogenen DGL ist die inhomogene DGL
nicht linear: sind x p1 und x p2 zwei partikuläre Lösungen der inhomogenen DGL, so erfüllt
deren Linearkombination die inhomogenen DGL in der Regel nicht:
D(λx p1 + µx p2 ) = λf(t) + µf(t) ≠ f(t) (ausser für λ + µ = 1) .
Die partikulären Lösungen der inhomogenen DGL können daher nicht verwendet werden,
um den zugehörigen Vektorraum aufzuspannen. Allerdings gibt uns diese Gleichung einen
anderen wichtigen Hinweis: mit λ = −µ = 1 erhalten wir aus der Differenz zweier partikulären
Lösungen eine Lösung der homogenen DGL D(x) = 0. Daraus können wir schließen, dass
sich die allgemeinste Lösung einer inhomogenen DGL durch eine partikuläre Lösung der
inhomogenen DGL plus einer Lösung der homogenen DGL darstellen lässt:
x(t) = λx 1 (t) + µx 2 (t) + x p (t) mit D(x 1 ) = D(x 2 ) = 0 und D(x p ) = f(t) .
Daher müssen wir nur eine partikuläre Lösung x p der inhomogenen DGL finden. Daraus
lassen sich alle Lösungen durch Addition der Lösung der zugehörigen homogenen DGL erzeugen.
7.7.3 DGL zur Definition einer Funktion: Bessel Funktionen
§ 972 Die DGL (7.27) unterscheidet sich von den bisher betrachteten, und mit einem Exponentialansatz
gelösten DGLs dadurch, dass die Koeffizienten nicht konstant sind sondern
allgemeine Funktionen der unabhängigen Variablen. Der Exponentialansatz liefert in diesem
Fall keine Lösung der homogenen DGL, auch mit dem Raten funktioniert es nicht immer.
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode