Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

6.4. KOMPLEXE ZAHLEN MATHEMATISCH 211
und damit, da cc −1 das Einheitselement ergibt, auch a = b. Die zweite Aussage wird entsprechend
bewiesen. Beachten Sie, dass wir an keiner Stelle eine Aussage darüber benötigt
haben, ob a, b und c reell, komplex oder Matrizen sind – das spielt weder für den Beweis
noch den Satz eine Rolle; dieser gilt für alle diese Mengen.
§ 820 Die Menge Z der ganzen Zahlen ist also bezüglich der Addition eine abelsche Gruppe
mit dem neutralen Element 0 und dem negativen oder inversen Element −a. Sie ist jedoch
keine abelsche Gruppe, ja nicht einmal eine Gruppe, bezüglich der Multiplikation, da es für
die Multiplikation kein inverses Element in Z gibt.
§ 821 Ein inverses Element der Multiplikation findet sich erst in der Menge Q der rationalen
Zahlen. Hier gibt es zu jeder von Null verschiedenen Zahl a genau ein inverses Element a −1
mit der Eigenschaft
a a −1 = 1 ,
d.h. das Produkt einer Zahl mit ihrem inversen ergibt das neutrale Element.
§ 822 Die Menge Q der rationalen Zahlen ist sowohl bezüglich der Addition als auch bezüglich
der Multiplikation eine abelsche Gruppe: es gibt für beide Operationen ein inverses und ein
neutrales Element, die Menge ist bezüglich beider Operationen abgeschlossen und für beide
Operationen gelten das Assoziativ- und das Kommutativgesetz. Außerdem sind die beiden
Verknüpfungen durch ein Distributivgesetz mit einander verbunden.
§ 823 Damit ist die Menge Q der rationalen Zahlen auch ein Körper. Ein Körper ist eine
Menge mit den folgenden Eigenschaften:
1. sie bildet bezüglich zweier interner Verknüpfungen Gruppen,
2. die beiden Verknüpfungen sind durch ein Distributivgesetz verbunden.
Die Menge R der reellen Zahlen bildet ebenso wie Q einen Körper.
6.4.3 Der Körper der komplexen Zahlen
§ 824 Auch die Menge C der komplexen Zahlen bildet einen Körper. Die folgende Auflistung
der Kriterien, die C zu einem Körper machen, kann gleichzeitig als Zusammenfassung der
Rechenregeln für komplexe Zahlen dienen.
§ 825 C bildet einen Körper, da die folgenden Eigenschaften erfüllt sind:
1. es existieren zwei Verknüpfungen, die Addition und die Multiplikation, bezüglich derer
C eine Gruppe bildet.
2. C ist eine Gruppe bezüglich der Addition, da
(a) die Addition eine interne Verknüpfung ist: z 1 + z 2 = z ∈ C.
(b) das Assoziativgesetz gilt: z 1 + (z 2 + z 3 ) = (z 1 + z 2 ) + z 3 .
(c) ein neutrales Element existiert: z + 0 = z.
(d) ein negatives Element existiert: ∀z ∈ C ∃ − z : z + (−z) = 0.
3. C ist eine Gruppe bezüglich der Multiplikation, da
(a) die Multiplikation eine interne Verknüpfung ist: z 1 z 2 = z ∈ C.
(b) das Assoziativgesetz gilt: z 1 (z 2 z 3 ) = (z 1 z 2 )z 3 .
(c) ein neutrales Element existiert: 1z = z.
(d) ein inverses Element existiert: ∀z ∈ C ∃ z −1 : z z −1 = 1.
4. die Verknüpfungen sind durch ein Distributivgesetz verbunden: z 1 (z 2 +z 3 ) = z 1 z 2 +z 1 z 3 .
5. es gilt die nicht-triviale Aussage 0 ≠ 1, d.h. die neutralen Elemente der beiden Verknüpfungen
unterscheiden sich.
Da C sowohl bezüglich der Addition als auch bezüglich der Multiplikation eine abelsche
Gruppe bildet, gilt für beide Verknüpfungen auch ein Kommutativgesetz:
z 1 + z 2 = z 2 + z 1 und z 1 z 2 = z 2 z 1 .
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007