Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

340 KAPITEL 8. MATRIZEN
Die Deviationsmomente haben die Form
I xy = −ϱ
∫ a ∫ a ∫ a
0
0
0
xy dx dy dz = − 1 4 ma2 .
Einsetzen dieser Ausdrücke in die Definition des Trägheitstensors liefert
⎛
⎞
2/3 −1/4 −1/4
I W = ma 2 ⎝ −1/4 2/3 −1/4 ⎠ . (8.28)
−1/4 −1/4 2/3
§ 1281 Bestimmen wir zuerst das Trägheitsmoment bei Drehung um eine der Koordinatenachsen,
z.B. die x-Achse. Dies ist nach (8.27) gegeben als
⎛
⎞ ⎛
2/3 −1/4 −1/4
I x = ma 2 ( 1 0 0 ) ⎝ −1/4 2/3 −1/4 ⎠ ⎝ 1 ⎞
0 ⎠
⎛
−1/4 −1/4 2/3 0
= ma 2 ( 1 0 0 ) ⎝ 2/3
⎞
−1/4 ⎠ = 2 3 ma2 .
−1/4
Dies stimmt, wie nicht anders zu erwarten, mit dem axialen Trägheitsmoment überein. Damit
vertrauen wir der Gleichung so weit, dass wir auch das Trägheitsmoment für die Drehung
um die Raumdiagonale d = (1, 1, 1)/ √ 3 bestimmen mögen:
⎛
⎞ ⎛
2/3 −1/4 −1/4
I d = ma2
3 ( 1 1 1 ) ⎝ −1/4 2/3 −1/4 ⎠ ⎝ 1 ⎞
1 ⎠
⎛
−1/4 −1/4 2/3 1
= ma2
3 ( 1 1 1 ) ⎝ 1/6
⎞
1/6 ⎠ = ma2 = 1 6 4 I x . (8.29)
1/6
Dieser Wert ist uns bereits bekannt: er entspricht gemäß § 692 dem Trägheitsmoment eines
Quaders bei Drehung um eine Achse parallel zu den Seitenkanten aber durch den Schwerpunkt
gehend.
§ 1282 Für den Übergang vom Würfel auf den Quader müssen wir nur die Integrationsgrenzen
entsprechend anpassen. Für die axialen Trägheitsmomente gilt wie schon in § 693
gezeigt
I zz = ϱ
∫ a ∫ b ∫ c
0
0
0
(y 2 + z 2 ) dx dy dz = 1 3 m(a2 + b 2 ) .
Entsprechend ist I xx = m(b 2 +c 2 )/3 und I yy = m(a 2 +c 2 )/3. Die Deviationsmomente ergeben
sich zu
I xy = −ϱ
∫ a ∫ b ∫ c
0
0
0
xy dx dy dz = − 1 4 mab .
Damit erhalten wir für den Trägheitstensor
⎛
⎞
I Q = m ⎝ (b2 + c 2 )/3 −ab/4 −ac/4
−ab/4 (a 2 + c 2 )/3 −bc/4 ⎠ .
−ac/4 −bc/4 (a 2 + b 2 )/3
Das Trägheitsmoment für die Drehung um eine Seitenkante müssen wir an dieser Stelle nicht
nochmals verifizieren. Das Trägheitsmoment bei Drehung um die Raumdiagonale dagegen
könnte einen Neuigkeitswert haben – selbst wenn es mit dem Trägheitsmoment bei Drehung
um eine der Seitenkanten oder eine Parallele dazu durch den Schwerpunkt zusammen fällt,
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode