Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

128 KAPITEL 4. DIFFERENTIALRECHNUNG
Anmerkung Notation
§ 500 Die formal korrekte Darstellung einer Ableitung ist
d
dx f(x) ,
d.h. es wird explizit angeben, nach welcher Variablen, in diesem Fall x, abzuleiten ist. Als
Kurzschrift für diese Ableitung wird verwendet
f ′ (x) = d
dx f(x) .
Entsprechend gilt für die zweite Ableitung
f ′′ (x) = d2
dx 2 f(x) .
Bei noch höheren Ableitungen wird die Kurzschrift unübersichtlich und die auf der rechten
Seite verwendete Darstellung ist übersichtlicher. Oder es wird die Abkürzung
verwendet.
f (n) (x) = dn
dx n f(x)
§ 501 In der Physik wird häufig nach der Zeit abgeleitet, wie z.B. bei der Bestimmung der
Geschwindigkeit:
v = d dt s(t) .
Als Kurzschrift für eine zeitliche Ableitung hat sich die Verwendung eines Punktes über dem
Funktionssymbol eingebürgert:
v = ṡ(t) = d dt s(t) .
Für die zweite Ableitung gilt dann entsprechend
a = ˙v = d d2
v(t) = ¨s =
dt dt 2 s(t) .
4.2.3 Eine einzige Ableitungsregel genügt: Potenzen
§ 502 In § 484 haben wir bereits die Ableitung einer Potenz betrachtet und dabei gesehen,
wie sich mit Hilfe des Grenzübergangs aus dem Differenzenquotienten die Ableitung
bestimmen lässt. Mit Hilfe des entsprechenden Verfahrens lässt sich auf einfache Weise die
allgemeine Ableitungsregel
d
dx xn = nx n−1
zeigen. Dazu halten wir uns an die Definition des Differentialquotienten:
d (x + h) n − x n
dx xn = lim
h→0 h
mit h = ∆x als der Differenz der Argumente – die Abkürzung ist uns bereits bei der Taylor
Entwicklung in Abschn. 2.4 begegnet. Die Klammer (x + h) n lässt sich mit Hilfe des
Pascal’schen Dreiecks auflösen. Bevor Sie aber diese Keule aus dem Werkzeugkasten holen,
überlegen sie lieber: ein Ausdruck der Form (x + h) n enthält alle Produkte x k h n−k für
k ∈ {0, . . . n}. Da am Ende der Grenzwert h → 0 gebildet werden soll, sind die Produkte mit
kleinen Werten von k uninteressant. Also benötigen wir eigentlich nur die Koeffizienten für
k = n und k = n − 1: ersteres ist die 1, da der Ausdruck x n nur einmal auftritt, letzteres
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode