Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

1.6. MATHEMATISCHE ERGÄNZUNG 39
Potenzreihen
§ 182 Als letztes betrachten wir Funktionen, die sich in eine Potenzreihe entwickeln lassen
(siehe Abschn. 2.7):
∞∑
f(x) = a n x n .
n=0
Der Raum dieser Funktionen bildet einen abzählbar unendlichen 16 Vektorraum mit der Basis
{x n : n = 0, 1, . . .}. Für Zwei Funktionen lässt sich die Addition (f +g)(x) = f(x)+g(x) definieren,
ebenso wie die Multiplikation einer Funktion mit einem Skalar (λf)(x) = λ(f(x)). Allerdings
sind unendlich dimensionale Vektorräume ein eher trickreiches Geschäft; Sie können
Ihnen in der Quantenmechanik begegnen, nicht aber in der Grundvorlesung Experimentalphysik.
Orthogonale Funktionen
§ 183 Mit Hilfe des Skalarprodukts lassen sich Vektoren auf Orthogonalität überprüfen:
stehen zwei Vektoren senkrecht aufeinander, so verschwindet das Skalarprodukt. In § 181
haben wir die beiden Funktionen Sinus und Kosinus als Basisvektoren eines die Lösung
einer Differentialgleichung definierenden Vektorraums beschrieben. Lässt sich der Begriff der
Orthogonalität von Vektoren auf Funktionen übertragen?
§ 184 Eine mathematisch befriedigende Antwort erhalten Sie rest im Rahmen der Funktionentheorie.
Allerdings können wir uns mit einer einfachen Plausibilitätsbetrachtung weiter
helfen, die wir bereits bei den Polynomen angewandt haben. Die Untersuchung eines Produktes
aus Sinus und Kosinus zur Definition von Orthogonalität hilft offensichtlich nicht weiter.
Dieses Produkt verschwindet für alle Vielfachen von π/2, da dann immer eine der Funktionen
verschwindet; für alle anderen Argumente ist es von Null verschieden. Um alle Argumente
berücksichtigen zu können, integrieren wir über dieses Produkt, wobei die Integrationsgrenzen
derart gewählt sind, dass sie eine volle Periode L (oder ein Vielfaches davon) jeder der
Funktionen abdecken. Dieses verallgemeinerte Skalarprodukt zweier beliebiger Funktionen f
und g lässt sich schreiben als
f · g =
∫ L
−L
f(x)g(x) dx .
Mit f = sinx und g = cosx ergibt sich
∫ π
[ 1
f · g = sin x cos x) dx =
2 sin2 x
−π
] π
−π
= 0 .
Im Sinne dieser Definition von Orthogonalität sind Sinus und Kosinus orthogonale Funktionen.
Zwischenrechnung 3 Das Integral ∫ sin x cos x dx hat (mindestens) zwei Lösungen. Eine
zweite Lösung findet man, entsprechend dem (sin 2 x)/2, wenn man berücksichtigt, dass das
Produkt sin x cos x als das Produkt aus einer Funktion und ihrer Ableitung gelesen werden
kann. Finden Sie die zweite Lösung. Verifizieren Sie, dass die beiden Funktionen auch dann
orthogonal sind.
Verständnisfrage 7 Was passiert, wenn man bei der Überprüfung auf Orthogonalität der
Funktionen Sinus und Kosinus ein beliebiges L als Integrationsgrenze verwendet?
16 Abzählbar unendlich heißt, in vereinfachter Ausdrucksweise, unendlich, aber in einer Form unendlich, dass
sich jedes Element einer natürlichen Zahl zu ordnen lässt. Also die gleiche Unendlichkeit wie die Menge der
natürlichen Zahlen N. Die Mengen der ganzen Zahlen ist auch abzählbar unendlich: wir können die Zuordnung
z.B. so treffen, dass 0 → 1, 1→ 2, −1 → 3, 2 → 4 usw. Dann ordnen wir jedem Element aus Z wieder genau
eines aus N zu.
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007