Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

8.2. RECHENTECHNIK 319
Auch diesen Zusammenhang erkennt man am einfachsten, wenn man nach der ‘multiplizierten’
Zeile oder Spalte entwickelt: dann kann man λ aus den Vorfaktoren der Unterdeterminante
ausklammern.
§ 1187 Entsprechend gilt: Multipliziert man alle Elemente einer Zeile oder einer Spalte mit
einer Zahl λ, so wird der Wert der Determinante das λ-fache. Als Umkehrung dazu: besitzen
die Elemente einer Zeile oder einer Spalte einer Determinante einen gemeinsamen Faktor λ,
so kann dieser vor die Determinante gezogen werden.
§ 1188 Daraus folgt, dass eine Determinante auch dann verschwindet, wenn zwei Zeilen oder
Spalten zueinander proportional sind, z.B.
∣ a 1 a 2 λa 1 ∣∣∣∣∣ b 1 b 2 λb 1 = 0 .
∣ c 1 c 2 λc 1
Bezogen auf das lineare Gleichungssystem bedeutet dies, dass nicht zwei der Gleichungen
identisch sind, sondern dass eine Gleichung ein Vielfaches einer anderen ist. Auch dann sind
diese beiden Gleichungen nicht linear unabhängig.
§ 1189 Wenn eine Zeile oder Spalte einer Determinante als Summe von zwei oder mehr
Termen geschrieben werden kann, so kann die Determinante als Summe oder Differenz von
zwei oder mehr Determinanten geschrieben werden:
∣ ∣ ∣ a 1 ± d 1 b 1 c 1 ∣∣∣∣∣ a 1 b 1 c 1 ∣∣∣∣∣ d 1 b 1 c 1 ∣∣∣∣∣ a 2 ± d 2 b 2 c 2 =
a 2 b 2 c 2 ±
d 2 b 2 c 2 . (8.6)
∣ a 3 ± d 3 b 3 c 3
∣ a 3 b 3 c 3
∣ d 3 b 3 c 3
Die Regel lässt sich durch Entwicklung nach der ‘Summenspalte’ einsehen:
∣ a 1 ± d 1 b 1 c 1 ∣∣∣∣∣ a 2 ± d 2 b 2 c 2 = (a 1 ± d 1 )|U 11 | + (a 2 ± d 2 )|U 12 | + (a 3 ± d 3 )|U 13 |
∣ a 3 ± d 3 b 3 c 3
= a 1 |U 11 | + a 2 |U∣ 12 | + a 3 |U 13 | + ∣d 1 |U 11 | + d 2 |U 12 | + d 3 |U 13 |
a 1 b 1 c 1 ∣∣∣∣∣ d 1 b 1 c 1 ∣∣∣∣∣
=
a 2 b 2 c 2 ±
d 2 b 2 c 2
∣ a 3 b 3 c 3
∣ d 3 b 3 c 3
§ 1190 Eine Determinante ändert ihren Wert nicht, wenn man zu den Elementen einer Zeile
oder einer Spalte die mit einem festen Faktor multiplizierten Elemente einer anderen Zeile
bzw. Spalte addiert; z.B.
∣ ∣ a 1 a 2 + λa 3 a 3 ∣∣∣∣∣ a 1 a 2 a 3 ∣∣∣∣∣ b 1 b 2 + λb 3 b 3 =
b 1 b 2 b 3 .
∣ c 1 c 2 + λc 3 c 3
∣ c 1 c 2 c 3
Entwickeln nach der addierten Spalte liefert mit der voran gegangenen Regel die Summe aus
zwei Determinanten, wobei in der zweiten Determninante eine Spalte ein Vielfaches der einer
anderen ist, so dass die Determinante verschwindet.
§ 1191 Multiplikationstheorem: Für zwei Matrizen A und B gilt: die Determinante des Matrixprodukts
AB ist gleich dem Produkt der Determinanten der beiden Matrizen A und B:
det (AB) = det A det B .
Das zu rechnen gibt einen unhandlichen Ausdruck. Für eine 2 × 2-Matrix ist
det (AB) =
∣ a ∣
11b 11 + a 12 b 21 a 11 b 21 + a 12 b 22 ∣∣∣
a 21 b 11 + a 22 b 21 a 21 b 12 + a 22 b 22
= (a 11 b 11 + a 12 b 21 )(a 21 b 12 + a 22 b 22 ) − (a 21 b 11 + a 22 b 21 )(a 11 b 21 + a 12 b 22 )
= a 11 b 11 a 21 b 12 + a 11 b 11 a 22 b 22 + a 12 b 21 a 21 b 12 + a 12 b 21 a 22 b 22
−a 21 b 11 a 11 b 21 − a 21 b 11 a 12 b 22 − a 22 b 21 a 11 b 21 − a 22 b 21 a 12 b 22 )
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007