Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

5.3. MEHRFACHINTEGRALE 173
§ 668 Zur Integration von h(x) = e x sin x wählen wir f ′ (x) = e x und g(x) = sin x. Dann ist
f(x) = e x und g ′ (x) = cos x und das Integral wird
∫
∫
e x sin x dx = e x sin x − e x cos x dx .
Auf den ersten Blick haben wir damit nichts gewonnen, da das Restintegral auf der rechten
Seite der Gleichung nicht besser aussieht als das Ausgangsintegral. Lassen Sie uns trotzdem
an dem Restintegral eine partielle Integration vornehmen, wieder mit f ′ (x) = e x , f(x) = e x ,
g(x) = cos x und g ′ (x) = − sin x. Dann erhalten wir
∫
( ∫
)
e x sin x dx = e x sin x − e x cos x − e x (− sin x) dx + C
∫
= e x sin x − e x cos x − e x sin x dx + C .
Jetzt haben wir auf der rechten und der linken Seite das gleiche Integral stehen und können
auflösen:
∫
e x sin x dx = 1 2 ex (sin x − cos x) + c .
Eine einfache und schnelle Alternative zur zweimaligen partiellen Integration kann die Darstellung
der Winkelfunktion mit Hilfe der Exponentialfunktion sein, vgl. § 801
5.2.4 Ein einziges Integral genügt: Potenzen
§ 669 In § 502 haben wir bereits gesehen, dass sich im Prinzip alle Ableitungen auf eine
einzige Regel zurück führen lassen, die Ableitungsregel für Potenzen: lässt sich eine Funktion
in eine Potenzreihe entwickeln, so können wir die einzelnen Glieder der Potenzreihe mit
Hilfe dieser Regel ableiten und erhalten damit einen, wenn auch nicht unbedingt einfach
zu handhabenden Ausdruck für die Ableitung. Entsprechendes gilt auch für die Integration.
Auch hier existiert eine einfache Ableitungsregel für Potenzen x n (außer für den Fall n =
−1). Entsprechend können wir die zu integrierende Funktion in eine Potenzreihe entwickeln
und diese gliedweise integrieren. Dabei gelten allerdings die bereits bei der Differentiation
gemachten Einschränkungen: in der Regel ergibt sich kein geschlossener sondern eher ein
unhandlicher Ausdruck. Falls sich eine zu integrierende Funktion aber gegen alle anderen
Annäherungen gesperrt hat, kann die Potenzreihenentwicklung einen Versuch wert sein.
5.3 Mehrfachintegrale
§ 670 In der Motivation haben wir Mehrfachintegrale in Anlehnung an die geometrische
Interpretation des bestimmten Integrals eingeführt. So gibt das bestimmte Integral einer
Funktion f(x, y) von zwei Variablen x und y das Volumen zwischen dem Funktionsgraphen
und der xy-Ebene. Setzen wir die Funktion f(x, y) = 1, so bestimmt das Doppelintegral
die durch die Integrationsgrenzen definierte Fläche, vgl. Abb. 5.3. Entsprechend kann ein
Dreifachintegral über die Funktion f(x, y, z) = 1 zur Bestimmung des Volumens eines durch
die Integrationsgrenzen beschriebenen Körpers verwendet werden.
§ 671 Für die Rechentechnik ist es irrelevant, ob ein Mehrfachintegral mit beliebigem f oder
mit f = 1 ausgeführt wird – dieser Unterschied betrifft lediglich die anschauliche Interpretation.
In beiden Fällen werden Mehrfachintegrale auf mehrere, nach einander ausgeführte
gewöhnliche Integrationen zurückgeführt. Daher werden alle Definitionen in Anlehnung an die
bereits bekannten Definitionen vorgenommen. Außerdem können die von der gewöhnlichen
Integration bekannten rechentechnischen Fertigkeiten direkt übertragen werden.
§ 672 Wie bereits erwähnt, dienen Mehrfachintegrale auch der Bestimmung von Flächen
und Volumina eines geometrischen Objekts wobei die Integrationsgrenzen zur Definition des
Objekts dienen. Bei einem Quader ist das einfache: wir orientieren das Koordinatensystem
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007