Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

7.5. DGL ZWEITER ORDNUNG AM BEISPIEL DES FEDERPENDELS 243
Abbildung 7.2: Lösung für den harmonischen
Oszillator mit allgemeinen
Randbedingungen v 0 und x 0
7.5.1 Harmonischer Oszillator
§ 932 Die den harmonischen Oszillator mathematisch beschreibende Schwingungsgleichung
ist gegeben durch
ẍ + ω 2 0x = 0 mit ω 2 0 = k/m > 0 . (7.16)
Der Exponentialansatz x = e λt liefert wegen ẍ = λ 2 e λt = λ 2 x
λ 2 x + ω 2 0x = 0
und damit für die nicht-triviale Lösung x ≠ 0 als charakteristische Gleichung
λ 2 + ω 2 0 = 0 oder λ 2 = −ω 2 0 .
Diese liefert zwei komplexe Eigenwerte
λ 1,2 = ±iω 0
und damit eine komplexwertige Lösung der Form
x c (t) = Ae iω0t + Be −iω0t mit A, B, x c ∈ C , ω 0 , t ∈ R
mit komplexen Integrationskonstanten A und B. Von dieser Lösung benötigen wir den Realteil.
Mit (6.13) ergibt sich dieser zu
x(t) = R{x c (t)} = a cos(ω 0 t) + b sin(ω 0 t) mit a, b, ω 0 , x, t ∈ R (7.17)
mit reellen Koeffizienten a und b. Ableiten liefert für die Geschwindigkeit
v(t) = ẋ(t) = −aω 0 sin(ω 0 t) + bω 0 cos(ω 0 t) mit a, b, ω 0 , x, v, t ∈ R (7.18)
Zwischenrechnung 32 Drücken Sie a und b mit Hilfe von A und B aus.
§ 933 Alternativ lässt sich die allgemeine Lösung darstellen als
x(t) = a cos(ω 0 t) + b sin(ω 0 t) = A cos(ω 0 t + ϕ)
A, ϕ ∈ R
mit A als der Amplitude der Schwingung und ϕ als der Phasenverschiebung.
Zwischenrechnung 33 Zeigen Sie mit Hilfe des Additionstheorems cos(α+β) = cos α cos β−
sin α sin β dass A = √ a 2 + b 2 und ϕ = − arctan(a/b).
Querverbindung 5 Zeigen Sie die Gültigkeit des Additionstheorem aus Zwischenrechnung 33
(keine Angst vor komplexen Zahlen!).
§ 934 Die Integrationskonstanten a und b der allgemeinen Lösung (7.17) lassen sich aus den
Anfangsbedingungen bestimmen. Spezialfälle der sich so ergebenden Lösungen sind:
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007