Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

496 ANHANG B. MATLAB: THE BASICS
polyval
roots
§ 1835 Da die Struktur des Polynoms vorgegeben ist, sind die Koeffizienten die einzigen
Größen, die zu seiner Beschreibung notwendig sind. In MatLab lässt sich ein Polynom daher
durch einen Vektor beschreiben, der die Koeffizienten in absteigender Ordnung enthält: das
Polynom x 5 + 2x 3 + 3x 2 + 4 lässt sich durch den Vektor p = [1 0 2 3 0 4] darstellen.
Zur Auswertung dieses Polynoms an verschiedenen Stellen x werden diese in einem Vektor
definiert, die Auswertung des Polynoms erfolgt mit Hilfe der Funktion polyval:
>> p=[1 0 2 3 0 4];x=[0:1:8];y=polyval(p,x) ←↪
y =
Columns 1 through 6
4 10 64 328 1204 3454
Columns 7 through 9
8320 17644 33988
§ 1836 Auch die Nullstellen eines Polynoms lassen sich mit MatLab bestimmen, allerdings
wie die gewöhnlichen Nullstellen nur näherungsweise. Dazu dient der Befehl roots. Für das
relativ einfache Polynom x 3 − 6x 2 + 11x − 6 liefert MatLab
>> p=[1 -6 11 -6]; r = roots(p) ←↪
r =
3.0000
2.0000
1.0000
Diese Werte sind mit großer Genauigkeit bestimmt, auch bei der Umstellung auf format
long ergeben sich keine Abweichungen von den erwarteten Werten. Betrachten wir dagegen
ein Polynom der Form (x − 1) 5 mit den Nullstellen bei x n = 1, so findet MatLab fünf
verschiedenen Wurzeln, die auch alle von 1 verschieden sind:
>> p=[1 -5 10 -10 5 -1]; r = roots(p) ←↪
r =
1.0010 + 0.0007i
1.0010 − 0.0007i
0.9996 + 0.0012i
0.9996 − 0.0012i
0.9987
Die Ungenauigkeit entsteht nicht durch das wechselnde Vorzeichen der Koeffizienten des Polynoms.
Davon kann man sich leicht durch Verwendung des Polynoms (x+1) 5 überzeugen: bis
auf das Vorzeichen stimmen die Ergebnisse mit den oben gegebenen überein. Die Ungenauigkeit
ist vielmehr ein allgemeines Problem numerischer Verfahren. Eine Möglichkeit zumindest
zur optischen Korrektur ist die Reduktion auf eine Darstellung mit zwei Nachkommastellen
(format bank).
conv
§ 1838 Bei der Polynomdivision deconf wird entsprechend verfahren, allerdings besteht das
Ergebnis [q,r] = deconv(p1,p2) aus zwei Polynomen: einem Polynom q, das den Quotien-
ten enthält, sowie einem zweiten Polynom r. das den Rest enthält. Für diese Polynome gilt:
p1 = conv(p2,q)+r.
deconv
§ 1837 Nützliche Tools in MatLab sind ferner die Multiplikation von Polynomen mit conv
sowie die Polynomdivision mit deconv. Bei der Multiplikation P (x) = P 1 (x) P 2 (x) werden
beide Polynome als Vektoren p1 und p2 an die Funktion conv(p1,p2) übergeben, das Ergebnis
ist ein Vektor, der die Koeffizienten des Ergebnis enthält.
Beispiel 4 Für die beiden Polynome p 1 = 5x 8 + 2x 2 + x − 1 und p 2 = x 4 + 3x −
6 erhalten wir >> p1=[5 0 0 0 0 0 2 1 -1]; p2=[1 0 0 3 -6]; conv(p1,p2)
←↪
ans =
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode