Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

460 KAPITEL 12. STATISTIK
Abbildung 12.10: Zufällige und systematische Fehler bei Schießübungen
Die mittlere Geschwindigkeit v m ist auf Grund der Asymmetrie der Verteilung zu höheren
Geschwindigkeiten verschoben und ergibt sich zu
√
√
3kT
v m = v 2 =
m .
Mit zunehmender Temperatur verschiebt sich das Maximum der Verteilung zu höheren Temperaturen.
§ 1718 Betrachten wir nur eine Komponente der Geschwindigkeit, so ergibt sich in einem
ruhenden Gas eine um Null symmetrische Geschwindigkeitsverteilung, wie in Teil (b) von
Abb. 12.9 gezeigt. Diese Verteilung wird mit zunehmender Temperatur breiter, das Maximum
verschiebt sich jedoch nicht. Würden wir eine Komponente der Geschwindigkeit in einem
bewegten Gas betrachten, wo würde die Verteilung unter Wahrung ihrer Form so verschoben
werden, dass die Mitte der Verteilung mit der Fortbewegungsgeschwindigkeit des Gases in
dieser Richtung zusammenfällt.
§ 1719 Betrachten wir jetzt die Zahl der Moleküle in der Boltzmann-Verteilung, die eine Geschwindigkeitskomponenten
mit einem Betrag kleiner gleich der thermischen Geschwindigkeit
haben, d.h. wir suchen das Integral
∫v th ∫v th
F = f(v) dv = 2 f(v) dv = 2 ∫1
√ e −u2 du = erf(1) = 0.843 ,
π
−v th
0
wobei die Substitution u = v/v th verwendet wurde.
12.4 Fehlerrechnung (deskriptive Statistik)
0
§ 1720 Messwerte sind fehlerhaft, d.h. die Angabe eines Messwerts macht nur Sinn, wenn
man auch seinen Fehler abschätzen und angeben kann. Fehler können eingeteilt werden in
systematische Fehler, z.B. durch fehlerhafte Apparaturen (die Stoppuhr geht zu langsam),
und statistische Fehler, also zufällige Schwankungen in den Messungen. Da das Wort ’
Fehler‘
ein vermeidbares Fehlverhalten des Beobachters bzw. Experimentators implizieren könnte,
ersetzt DIN-Norm 1319 (Teil 3) die Begriffe zufälliger Fehler und systematischer Fehler durch
die Begriffe zufällige und systematische Abweichung.
§ 1721 Den Unterschied zwischen statistischen bzw. zufälligen und systematischen Abweichungen
verdeutlicht Abb. 12.10 am Beispiel einer Schießübung. In (a) liegen alle Einschüsse
eng zusammen, d.h. der zufällige Fehler ist klein. Außerdem liegen alle Einschüsse in der
Nähe des Zentrums, d.h. der systematische Fehler ist ebenfalls klein. In (b) tritt ein kleiner
zufälliger aber großer systematischer Fehler auf, da alle Treffer zwar eng beieinander aber
rechts vom Zentrum liegen. In (c) ist der zufällige Fehler groß, da die Treffer über einen
weiten Bereich verteilt sind. Der systematischer Fehler dagegen ist klein, da die Verteilung
im Zentrum zentriert ist. In (d) sind beide Fehler groß. Die Fehlerrechnung berücksichtigt
die statistischen Fehler.
§ 1722 Bei der Fehleranalyse lassen sich zwei Bereich unterscheiden:
• die zur Verfügung stehenden Daten und ihre Beschreibung durch Mittelwert und Varianz,
sowie
• statistische Modelle, die uns Verteilungen, wie im vorangegangenen Kapitel angesprochen,
liefern und die wir zur Charakterisierung unserer Messdaten zur Hilfe nehmen können.
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode