Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

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INHALTSVERZEICHNIS
6.5 Schneeflocke trifft Apfelmännchen an Küstenlinie . . . . . . . . . . . . . . . . 216
6.5.1 Selbstähnlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
6.5.2 Und was hat das mit komplexen Zahlen zu tun? . . . . . . . . . . . . 219
6.6 Komplexe Zahlen in MatLab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
6.6.1 Darstellungsformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
6.6.2 Rechnen mit komplexen Größen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
6.6.3 Plotten komplexer Größen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
7 Gewöhnliche Differentialgleichungen 228
7.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
7.1.1 Zwei Beispiele aus der Physik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
7.1.2 Mathematische Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
7.2 Übersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
7.2.1 Definition und Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
Integrationskonstanten und Anfangsbedingungen . . . . . . . . . . . . 233
7.2.2 Ordnung im Zoo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
7.3 Differentialgleichungen 1. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
7.3.1 Lineare homogene DGL erster Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
Separation der Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
Separation der Variablen bei konstantem Summanden und konstanten
Koeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
Exponentialansatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
7.3.2 Lineare inhomogene DGL erster Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . 237
Variation der Konstanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
Aufsuchen einer partikulären Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
7.4 Differentialgleichungen 2. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
7.4.1 Lösung der homogenen DGL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
Charakteristische Gleichung und Eigenwerte . . . . . . . . . . . . . . . 241
7.4.2 Lösung der inhomogenen DGL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
7.5 DGL zweiter Ordnung am Beispiel des Federpendels . . . . . . . . . . . . . . 241
7.5.1 Harmonischer Oszillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
Allgemeine ortsabhängige Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
Darstellung im Phasenraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
7.5.2 Gedämpfte Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
Schwingfall (schwache Dämpfung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
Kriechfall (starke Dämpfung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
Aperiodischer Grenzfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
7.5.3 Erzwungene Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
7.6 Lösung einer DGL durch eine Potenzreihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
7.6.1 Schwingungsgleichung als Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
7.6.2 Gewöhnlicher Punkt und Normalform . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
7.6.3 Ein Wort der Vorsicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
7.7 Mathematische Ergänzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
7.7.1 Vollständigkeit der Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
7.7.2 Inhomogene Differentialgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
7.7.3 DGL zur Definition einer Funktion: Bessel Funktionen . . . . . . . . . 256
7.7.4 DGL zur Definition von Polynomen: Legendre Polynome . . . . . . . . 259
7.7.5 Fourier Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
Exkursion JPEG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
7.8 Gewöhnliche Differentialgleichungen in der Physik . . . . . . . . . . . . . . . 266
7.8.1 Differentialgleichung erster Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
Zerfallstyp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
Zerfallstyp mit additiver Konstante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
Ein nicht-lineares Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode