Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

246 KAPITEL 7. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
Abbildung 7.3: Darstellung
der eindimensionalen Bewegung
im Phasenraum (x, v).
Links oben: harmonischer
Oszillator; rechts oben:
gedämpfter Oszillator im
Schwingfall; links unten:
gedämpfter Oszillator im
Kriechfall; rechts unten:
angetriebene Schwingung
(mit Einschwingen)
Darstellung im Phasenraum
§ 939 Die Lösungen der DGL haben wir als Funktionen in Abhängigkeit von der Zeit betrachtet,
x(t) und v(t), und entsprechend als Weg–Zeit- bzw. Geschwindigkeits–Zeit-Diagramm
dargestellt. Eine alternative Form der Darstellung ist der von Weg und Geschwindigkeit aufgespannte
Phasenraum. Bei einer eindimensionalen Bewegung ergibt sich ein zweidimensionaler
Phasenraum (x, v), bei der dreidimensionalen Bewegung ein 6-dimensionaler Phasenraum
(⃗r, ⃗v). Die Darstellung der Bewegung in diesem Phasenraum lässt sich als x(v) interpretieren,
wobei die Funktion in Abhängigkeit vom Parameter t dargestellt wird. Oder anschaulich: zu
jedem Zeitpunkt t wird das zugehörige Wertepaar x(t) und v(t) als Punkt im Phasenraum
markiert; auf einander folgende Punkte werden durch eine Kurve verbunden.
§ 940 Die Darstellung im Phasenraum ermöglicht eine einfache Identifikation der wichtigsten
Eigenschaften der Bewegung. So ergibt eine periodische Bewegung eine geschlossene Kurve,
da nach einer Periode T stets die gleiche Kombination aus Ort x und Geschwindigkeit v
erreicht wird. Der Spezialfall einer periodischen Bewegung ist die harmonische Bewegung wie
oben für das Pendel beschrieben. Diese Bewegung erzeugt eine geschlossene Kurve mit den
folgenden Eigenschaften:
• bei maximaler Auslenkung verschwindet die Geschwindigkeit (Schnittpunkte mit der x-
Achse);
• die Geschwindigkeit ist im Durchgang durch die Ruhelage maximal (Schnittpunkte mit der
v-Achse);
• die Beträge der Geschwindigkeit unterscheiden sich beim Durchgang durch die Ruhelage
nicht (Symmetrie bezüglich der x-Achse);
• die Beträge der Auslenkung unterscheiden sich in den beiden Halbperioden der Bewegung
nicht (Symmetrie bezüglich der v-Achse).
Damit lässt sich anschaulich akzeptieren, dass die Bahnkurve im Phasenraum eine Ellipse ist,
vgl. linkes oberes Teilbild in Abb. 7.3 – zeigen lässt es sich mit Hilfe der Parameterdarstellung
einer Ellipse.
7.5.2 Gedämpfte Schwingung
§ 941 Eine gedämpfte Schwingung wird durch eine DGL zweiter Ordnung der Form
ẍ + 2γẋ + ω 2 0x = 0 mit γ, ω 2 0 ∈ R > 0
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode