Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

286 KAPITEL 7. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
§ 1075 In den Abbruchfehler geht die gewählte Schrittweite ein, ebenso wie die zweite Ableitung
der exakten Lösung, d.h. die Änderung der Steigung der gesuchten Funktion. Das ist
anschaulich verständlich: im Idealfall einer konstanten Steigung im Intervall ∆t liefert das
Euler’sche Streckenzugverfahren für den Wert am Intervallende nicht nur eine Näherung sondern
den exakten Wert. Dann ist ε k = 0 weil ¨Nk = 0. Je geringer die Änderung der Steigung
in ∆t ist, um so stärker nähert sich der Wert am Intervallende an die exakte Lösung an,
d.h. ε k ∼ ¨N ist zumindest plausibel. Die Abhängigkeit von ∆t ist ebenfalls anschaulich: je
kleiner der Rechenschritt, um so früher korrigieren wir die fälschliche Annahme Ṅ = const
des numerischen Verfahrens.
§ 1076 Die Qualität eines numerischen Differenzenschemas hängt von der Größe des Abbruchfehlers
ε k ab. Manchmal ist ε k bei der Lösung einer bestimmten DGL klein: allerdings
nicht, weil das verwendete Schema so gut ist, sondern weil die Eigenschaften oder Parameter
der DGL so sind, dass der Fehler des Schemas durch teilweise kompensiert wird. Dann ist
das Schema für andere DGLs oder Parameter jedoch nicht geeignet; es ist in seinem Verhalten
nicht konsistent sondern von Parametern der DGL abhängig. In diesem fall ist ε k
sehr variable. Die Veränderung von ε k bei Variation der Schrittweite kann daher als Test für
die Qualität eines numerischen Verfahrens verwendet werden und führt auf den Begriff des
konsistenten Schemas:
Definition 66 Ein Differenzenschema wird als konsistent bezeichnet, wenn ε k → 0 für ∆t →
0 für alle Gitterpunkte k im Integrationsintervall.
Stabilität
§ 1077 Konsistenz und Genauigkeit sind wichtige Eigenschaften: sie beschreiben, ob ein
Differenzenschema konvergiert oder nicht. Dieser Zusammenhang wird durch das Lax’sche
Äquivalenztheorem beschrieben:
Satz 19 Gegeben ist ein wohl definiertes Anfangswertproblem und ein Differenzenschema,
dass die Bedingung der Konsistenz erfüllt. Dann ist Stabilität sowohl eine notwendige als
auch eine hinreichende Bedingung für Konvergenz.
§ 1078 Dabei bedeutet Konvergenz dass die Differenz zwischen der exakten Lösung û k (t)
und der angenäherten Lösung u k gegen Null strebt wenn der Diskretisierungsschritt gegen
Null strebt:
|û k (t) − u k | → 0 wenn ∆t → 0 .
Anwendung dieser Begriffe auf die diskutierten Schemata
§ 1079 Die Euler Vorwärts Methode ist, wie bereits bei der Diskretisierung angemerkt, ein
Vorwärtsverfahren, da der Wert am Intervallende jeweils aus dem am Intervallanfang ermittelt
wird. Wie bei der Diskretisierung bereits angemerkt, ist dies ein Verfahren von erster
Ordnung in ∆t; auch der Truncation Error ist von erster Ordnung in ∆t.
§ 1080 Die Euler Rückwärts Methode ist als Rückwärtsverfahren aus Sicht der Diskretisierung
ebenfalls von erster Ordnung in ∆t. Das Verfahren ist zweistufig, insbesondere wird im
Prädikatorschritt ein Zwischenwert berechnet. Beide Schritte wären einzeln nur von erster
Ordnung in ∆t. In der Kombination heben sich jedoch der Zwischenwert und die erste Ordnung
des ∆t heraus, so dass der sich ergebende Truncation Error von zweiter Ordnung in ∆t
ist, d.h. O((∆t) 2 ).
§ 1081 Die von uns betrachtete Variante des Runge–Kutta Verfahrens heißt so, da sie von
vierter Ordnung in ∆t ist. Sie können dies zeigen, in dem Sie den Truncation Error für jeden
der Schritte aufstellen und dann die Gleichungen zusammen fügen: die Fehler geringerer
Ordnung als vier heben sich heraus.
Zwischenrechnung 43 Letzteres ist Quälkram, aber machen Sie es trotzdem.
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode