Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

276 KAPITEL 7. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
∆t 0.1 s 0.2 s 0.5 s 1 s 2 s 5 s 10 s analyt.
∆t/τ 1/100 1/50 1/20 1/10 1/5 1/2 1 -
t [s] t/τ N(t) N(t) N(t) N(t) N(t) N(t) N(t) N(T )
0 0 10 000 10 000 10 000 10 000 10 000 10 000 10 000 10 000
1 0.1 9 043 9 039 9 025 9 000 - - - 9 048
2 0.2 8 179 8 170 8 145 8 100 8 000 - - 8 187
3 0.3 7 397 7 386 7 350 7 290 - - - 7 408
4 0.4 6 689 6 676 6 634 6 561 6 400 - - 6 703
5 0.5 6 050 6 034 5 987 5 905 - 5 000 - 6 065
6 0.6 5 472 5 455 5 403 5 314 5 120 - - 5 488
7 0.7 4 948 4 931 4 877 4 783 - - - 4 966
8 0.8 4 475 4 457 4 401 4 305 4 096 - - 4 493
9 0.9 4 047 4 028 3 972 3 874 - - - 4 065
10 1.0 3 660 3 642 3 585 3 487 3 277 2 500 0 3 679
11 1.1 3 310 3 292 3 235 3 138 - - - 3 329
12 1.2 2 994 2 976 2 920 2 824 2 621 - - 3 012
13 1.3 2 708 2 690 2 635 2 542 - - - 2 725
14 1.4 2 449 2 431 2 378 2 288 2 097 - - 2 466
15 1.5 2 215 2 198 2 146 2 059 - 1 250 - 2 231
16 1.6 2 003 1 986 1 937 1 853 1 677 - - 2 019
20 2.0 1 340 1 326 1 285 1 216 1 073 625 0 1 353
50 5.0 65.7 64.0 59.2 51.5 37.8 9.8 0 67
100 10. 0.43 0.41 0.35 0.27 0.14 0.01 0 0.5
Tabelle 7.1: Vergleich der numerischen Integration mit Schrittweiten von 0.01 s, 0.02 s, 0.05 s,
1 s, 2 s, 5 s und 10 s mit den analytischen Ergebnissen
§ 1038 In Tabelle 7.1 werden numerische Lösungen für den radiaoktiven Zerfall mit der
Anfangsbedingung N(0) = 10 000 und der Zerfallskonstante λ = (10 s) −1 betrachtet. Die
charakteristische Zeitskala τ des Systems ist 1/λ, also τ = 10 s. Die verschiedenen Spalten sind
für unterschiedliche Schrittweiten ∆t bestimmt, die Schrittweite ist sowohl explizit als auch
in Einheiten der charakteristischen Zeit τ angegeben. Die rechte Spalte gibt zum Vergleich
die analytische Lösung.
§ 1039 Ist der Zeitschritt ∆t gleich der Zeitkonstanten τ des Systems (vorletzte Spalte in
Tabelle 7.1 und durchgezogene Stufe in Abb. 7.19) so ist die Lösung inakzeptabel, da bereits
innerhalb des ersten Zeitschritts alle Atome zerfallen:
∆N = −Nλ∆t = −Nλ 1 = N und damit N − ∆N = 0 .
λ
Beträgt der Zeitschritt 1/10 der charakteristischen Zeit (∆t = τ/10, Spalte 6), so ist der
Fehler für eine kurze Simulationszeit (z.B. bis t = 10 s) noch kleiner 10%, nimmt mit zunehmender
Zeit jedoch stark zu, so dass sich bei einer Simulationszeit von t = 10τ bereits ein
Fehler in der Ordnung von 50% ergibt.
§ 1040 Die Reduktion des Zeitschritts auf 1/100 der charakteristischen Zeit (Spalte 3) verzehnfacht
die Rechenzeit, reduziert den Fehler jedoch deutlich: bis zu einer Simulationszeit
von 2τ ist der Fehler kleiner als 1%, selbst bei einer Simulationszeit von 10τ liegt er noch
unter 20%.
§ 1041 Für alle Zeitschritte ∆t wird das Verfahren mit zunehmender Zeit immer ungenauer:
bereits der erste Zeitschritt liefert nicht den Funktionswert sondern einen etwas davon
abweichenden Wert, da in der Ausführung der Differenzengleichung ja vorausgesetzt wurde,
dass die Steigung innerhalb des Zeitschritts konstant ist. Jeder folgende Zeitschritt bewirkt
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode