Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

548 ANHANG D. LÖSUNGEN ZU FRAGEN UND AUFGABEN
Aufgabe 13: der Sinussatz setzt in einem beliebigen Dreieck die Verhältnisse zweier Seiten
mit denen der Sini der Gegenwinkel in Beziehung: a : b : c = sin α : sin β : sin γ. Für jeden
dieser Winkel gilt gemäß Vektorprodukt
sin α = |⃗ b × ⃗c|
| ⃗ b| |⃗c|
, sin β =
|⃗a × ⃗c|
|⃗a| |⃗c|
Das Verhältnis der Sini zweier Winkel ist z.B.
| ⃗ b×⃗c|
sin α
sin β = | ⃗ b| |⃗c|
|⃗a×⃗c|
|⃗a| |⃗c|
= |⃗ b × ⃗c| |⃗a|
|⃗a × ⃗c| | ⃗ b| = |⃗a|
| ⃗ b| = a b .
und sin γ = |⃗a ×⃗ b|
|⃗a| | ⃗ b|
Um zu zeigen, dass der Quotient der beiden Vektorprodukte verschwindet, müssen wir uns
nur klar machen, dass die Seite ⃗c des Dreiecks sich als ⃗c = ⃗ b − ⃗a darstellen lässt. Dann ist
| ⃗ b × ⃗c|
|⃗a × ⃗c| = |⃗ b × ( ⃗ b − ⃗a)|
|⃗a × ( ⃗ b − ⃗a)| = | −⃗ b × ⃗a|
|⃗a × ⃗ = |⃗a ×⃗ b|
b| |⃗a × ⃗ b| = 1 .
Aufgabe 14: ist in Abschn. 1.6.4 behandelt
Aufgabe 15: in der einfachsten Variante lässt sich das Skalarprodukt konventionell mit
kartesischen Koordinaten schreiben als
⎛
⃗a ·⃗b = ⎝ r ⎞ ⎛
a sin ϑ a cos ϕ a
r a sin ϑ a sin ϕ a
⎠ · ⎝ r ⎞
b sin ϑ b cos ϕ b
r b sin ϑ b sin ϕ b
⎠
r a cos ϑ a
r b cos ϑ b
= r a r b [sin ϑ a cos ϕ a sin ϑ b cos ϕ b + sin ϑ a sin ϕ a r b sin ϑ b sin ϕ b + cos ϑ a cos ϑ b ]
Wenig hilfreich, das Skalarprodukt wird in Kugelkoordinaten nicht einfacher, so dass ein
Umwandeln von kartesisch auf Kugel vor der Ausführung des Produkts auf keinen Fall sinnvoll
ist. Und sind die Vektoren in Kugelkoordinaten gegeben, so ist es egal: direkt oder indirekt
muss man doch in kartesische Koordinaten umwandeln.
Aufgabe 16: Damit der Körper in Ruhe verbleibt, muss die Summe der auf ihn wirkenden
Kräfte verschwinden: ⃗a = 0 ⇒ ∑ Fi ⃗ = 0. Damit gilt für die zusätzliche Kraft F ⃗ 6 (Einheiten
wurden sträflich vernachlässigt):
⎛
⎝ 4 5
−9
⎞
⎠ +
⎛
⎝ −9
4
−7
⎞
⎠ +
⎛
⎝ 25 5
1
⎞
⎠ +
⎛
⎝ −5
9
81
.
⎞ ⎛
⎠ + ⎝ −5
⎞
⎛
−7 ⎠ + F ⃗ 6 = 0 ⇒ F ⃗ 6 = − ⎝ 10
⎞
16 ⎠ N .
−3
63
Wirkt diese Kraft nicht, so ergibt sich für die Summe der Kräfte ⃗ F s = ∑ ⃗ Fi = (10, 16, 63) N
und damit für die Beschleunigung ⃗a = ⃗ F /m = (2, 16/5, 63/5) m/s 2
Aufgabe 17: der Weg ist gegeben als ⃗s = ⃗r 2 − ⃗r 1 = (32, 25, 6) m. Die Arbeit ist W =
⃗F · ⃗s = 104 Nm, der Winkel ist cos α = W/(| ⃗ F | |⃗s|) = 0.1828 ⇒ α = 1.3869, entsprechend
79.46 ◦ . Veränderung der Masse ändert nichts an der Arbeit. Da aber die Kraft vorgegeben ist,
bedeutet Veränderung der Masse Veränderung der Beschleunigung und damit eine Änderung
der Bewegung.
Aufgabe 18: Gegeben sind die Beträge der Kraft und der Strecke sowie die Arbeit. Aus
W = F s cos α ergibt sich cos α = W/(F s) = 1, d.h. die Kraft ist parallel zum Weg. Auch
hier ist die Angabe der Masse irrelevant.
Aufgabe 19: die Scheibe bleibt in Ruhe, wenn die Summe der angreifenden Drehmomente
verschwindet: ∑ Di ⃗ = ∑ Fi ⃗ × ⃗r i = 0. damit wir das Kreuzprodukt ausführen können,
ergänzen wir die dritte Komponente der Vektoren jeweils als Null und erhalten für die Summe
der Drehmomente der gegebenen Kräfte (wieder ohne Berücksichtigung der Einheiten):
⃗D =
⎛
⎝ 4 0
0
⎞
⎠ ×
⎛
⎝ −4
0
0
⎞
⎠ +
⎛
⎝ 5 2
0
⎞
⎠ ×
⎛
⎝ 8 0
0
⎞
⎠ +
⎛
⎝ 0 6
0
⎞
⎠ ×
⎛
⎞
⎝ 3 0 ⎠ +
0
⎛
⎝ −4
⎞ ⎛
−3 ⎠ ×
0
⎝ 0 0
0
⎞
⎠
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode