Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

12.4. FEHLERRECHNUNG (DESKRIPTIVE STATISTIK) 465
12.4.5 Fehlerfortpflanzung
§ 1742 Alle Messwerte sollen im Folgenden normalverteilt sein.
§ 1743 Wie messen jetzt Parameter x ij , um eine Größe u(x 1 , x 2 , x 3 , ...) zu bestimmen, die
von diesen Parametern abhängt. Dazu rechnen wir mit den experimentellen Mittelwerten x i ,
müssen dann aber aus den Standardabweichungen σ i
der Mittelwerte eine Standardabweichung
σ u des Ergebnisses u bestimmen gemäß Fehlerfortpflanzungsgesetz
σ 2 u =
( ∂u
∂x 1
) 2
σ 2 x 1
+
( ∂u
∂x 2
) 2
σ 2 x 2
+ .... = ∑ ( ∂u
∂x i
) 2
σ 2 x i
. (12.28)
Diese Summe enthält die Standardabweichungen der Mittelwerte der einzelnen Größen x i
sowie einen Gewichtsfaktor (∂u/∂x i ) 2 , der berücksichtigt, wie stark das Gesamtergebnis u
in Abhängigkeit von einer Variation der Variablen x i ändert: ist diese Variation relativ gering,
so beeinflussen auch recht große Fehler in x i das Ergebnis nur wenig. Bei eine starken
Abhängigkeit dagegen beeinflussen auch kleine Änderungen in x i das Gesamtergebnis stark.
§ 1744 Summen oder Differenzen: mit der Zielfunktion u = x + y oder u = x − y und
den partiellen Ableitungen ∂u/∂x = 1 bzw. ∂u/∂y = ±1 erhalten wir aus (12.28)
√
σu 2 = (1) 2 σx 2 + (±1) 2 σy 2 oder σ u = σx 2 + σ2 y . (12.29)
Bei der Addition/Subtraktion ergibt sich der absolute Gesamtfehler als Wurzel aus der Summe
der Quadrate der einzelnen Fehler.
§ 1745 Dieses Verfahren hat gegenüber der Anfängerfaustregel, die Fehler einfach zu addieren,
σ u = σ x +σ y , einen Vorteil: addiert man die Fehler, so wird der Fehler der Summe größer
als in (12.29). Um diesen großen Fehler zu erreichen, müssten sowohl x als auch y gleichzeitig
maximal zu klein (oder zu groß) gewesen sein. Das ist bei zufälligen Abweichungen aber
unwahrscheinlich.
§ 1746 Durch mehrfache Messung haben wir für die Längen der beiden Hälften eines Seils
die Messwerte l 1 = (10 ± 0.4) m (entsprechend einem relativen Fehler von 4%) und l 2 =
(10 ± 0.3) m (entsprechend einem relativen Fehler von 3%) bestimmt. Die Gesamtlänge des
Seils ergibt sich zu l = l 1 + l 2 = (20 ± 0.5) m (entsprechend einem relativen Fehler von 2.5%).
Lassen Sie sich nicht von dem kleinen relativen Fehler verwirren: der absolute Fehler der
Summe ist natürlich größer als die einzelnen Fehler.
§ 1747 Multiplikation mit einer Konstanten: mit A = const ergibt sich aus der zu
bestimmenden Funktion u = A x für die Ableitung ∂u/∂x = A und damit für die Standardabweichung
des Mittelwerts
σ u = Aσ x ,
d.h. es wird sowohl der experimentelle Mittelwert als auch seine Standardabweichung mit der
Konstanten multipliziert.
§ 1748 Verwenden wir statt des absoluten Fehlers σ x einen relativen Fehler σ x /x bzw. σ u /u,
so erkennen wir, dass der relative Fehler bei Multiplikation mit einer Konstanten erhalten
bleibt.
§ 1749 Der Durchmesser des Seils aus § 1738 ist zu d = (7.4 ± 0.1) mm bestimmt, entsprechend
einem relativen Fehler von 1.3%. Welchen Umfang (mit Fehler) hat das Seil? Für den
Umfang gilt U = πd, d.h. die fehlerbehaftete Größe d wird mit einer Konstanten multipliziert.
Der relative Fehler von 1.3% bleibt dabei erhalten und es ist U = (23.2 ± 0.3) mm.
§ 1750 Produkte und Quotienten: für den Zusammenhang u = xy erhalten wir die
Ableitungen ∂u/∂x = y und ∂u/∂y = x und damit
σ 2 u = y 2 σ 2 x + x 2 σ 2 y .
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007