Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

7.6. LÖSUNG EINER DGL DURCH EINE POTENZREIHE 253
Um die Summen zusammen fassen zu können, verändern wir in der ersten Summe den Index
und erhalten
∞∑
∞∑
(n + 2)(n + 1)a n+2 t n + a n t n = 0
n=0
n=0
bzw. zusammen gefasst
∞∑
[(n + 2)(n + 1)a n+2 + a n ] t n = 0 .
n=0
Damit diese Potenzreihe verschwindet, muss jeder der Koeffizienten verschwinden, d.h.
(n + 2)(n + 1)a n+2 + a n = 0 oder a n+2 =
−a n
(n + 2)(n + 1) .
Mit Hilfe dieser Rekursionsformel können wir die Koeffizienten mit gradzahligem Index mit
Hilfe von a 0 und die mit ungradzahligem Index mit Hilfe von a 1 ausdrücken:
a 2n = (−1)n
(2n)! a 0 und a 2n+1 = (−1)n
(2n + 1)! a 1 mit n = 0, 1, 2, . . . . (7.23)
Setzen wir dies in die DGL ein, so erhalten wir
x = a 0
∞
∑
n=0
(−1) n
(2n)! t2n + a 1
∞
∑
n=0
(−1) n
(2n + 1)! t2n+1 .
Die beiden Summen sind die MacLaurin Reihen für den Sinus (2.9) und den Kosinus (2.10),
d.h. wir erhalten die auch mit Hilfe des Exponentialansatzes gefundene Lösung
x = a 0 sin t + a 1 cos t . (7.24)
Diese Lösung enthält wieder zwei Integrationskonstanten a 0 und a 1 , wie für eine Differentialgleichung
zweiter Ordnung gefordert.
Zwischenrechnung 36 Wie verändert sich die Herleitung, wenn in der Ausgangsdifferentialgleichung
ω 0 nicht gleich 1 gesetzte wird?
§ 959 Nicht jede DGL ist durch einen Potenzreihenansatz lösbar und selbst bei einer durch
einen Potenzreihenansatz lösbaren DGL lässt sich das Ergebnis nicht unbedingt durch einfache
Funktionen, in obigem Beispiel Sinus und Kosinus, ausdrücken, sondern es kann sein,
dass die Potenzreihe die Lösung ist. Eine Differentialgleichung kann daher auch als Definitionsgleichung
für eine Potenzreihe verwendet werden, z.B. für die Legendre Polynome (vgl.
Abschn. 7.7.4).
7.6.2 Gewöhnlicher Punkt und Normalform
§ 960 Ob eine Differentialgleichung 2. Ordnung durch einen Potenzreihenansatz gelöst werden
kann, hängt von ihren Koeffizienten ab. Betrachten wir dazu eine allgemeine homogene
DGL zweiter Ordnung
A(t) ẍ + B(t) ẋ + C(t) x = 0 , (7.25)
wobei A(t), B(t) und C(t) Polynome sind, die keine gemeinsamen Faktoren enthalten. Die
Gleichung soll in einem vorgegebenen Intervall gelöst werden. Ein Punkt t 0 in diesem Intervall
wird als gewöhnlicher Punkt bezeichnet, wenn gilt A(t 0 ) ≠ 0. Dann können wir durch A(t)
teilen und erhalten
ẍ + p(t) ẋ + q(t) x = 0 . (7.26)
Darin sind die Koeffizienten p und q stetig in der Umgebung von t 0 . Da beide als Quotienten
von Polynomen definiert sind, sind sie selbst auch Polynome und lassen sich um t 0 in eine
Serie entwickeln.
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007