Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

7.10. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN IN MATLAB 303
Aufgabe 138 Die Bewegungsgleichung für den schrägen Wurf mit Reibung ist gegeben als
m¨⃗r = m˙⃗v = −m⃗g − β⃗v = −mg⃗e z − β⃗v .
Bestimmen Sie die Lösung dieser Gleichung für die Anfangsbedingung ⃗v(0) = ⃗v 0 . Bestimmen
Sie ferner den Ort ⃗r in Abhängigkeit von der Zeit für die Anfangsbedingung ⃗r(0) = ⃗r 0 .
Aufgabe 139 Die Differentialgleichung ẍ+pẋ+36x = 0 mit p > 0 beschreibt eine gedämpfte
Schwingung. Bestimmen Sie p so, dass der aperiodische Grenzfall eintritt.
Aufgabe 140 Ein Zylinder der Masse m und der Querschnittsfläche A schwimmt mit vertikaler
Achse in einer Flüssigkeit der Dichte ϱ. Wie groß ist die Schwingungsdauer, wenn man
ihn leicht nieder drückt und dann wieder frei gibt. Stellen Sie die Bewegungsgleichung auf
und lösen Sie sie.
Aufgabe 141 Ersetzen Sie den Zylinder in Aufgabe 140 durch einen auf der Spitze stehenden
Kreiskegel, stellen Sie die DGL auf und lösen Sie sie.
Aufgabe 142 Mathematisches Pendel (Fadenpendel): eine Masse m schwingt an einem Faden
der Länge l. Bestimmen Sie die Schwingungsdauer des ungedämpften Pendels für kleine
Auslenkungen. Erweitern Sie anschließend auf den gedämpften Fall, wobei die Reibungskraft
als −βv angenommen wird.
Aufgabe 143 Die Gravitationskraft ist vom Radius abhängig: F G = γMm/r 2 . Wie ändern
sich Bewegungsgleichung und Periodendauer beim Fadenpendel, wenn dieses vom Meeresniveau
auf (a) den Mont Blanc (4 800 m), den Mount Everest (8 800 m) und die Space Station
(500 km) transportiert wird?
Aufgabe 144 Bestimmen Sie die allgemeine und die stationäre Lösung für die erzwungenen
Schwingungen ẍ + 4ẋ + 29x = 2 sin(2t) und ẍ + 6ẋ + 9x = cos t − sin t.
Aufgabe 145 Simulierter Bungee-Jump: ein Körper der Masse m befindet sich zur Zeit t = 0
am Ort z 0 an einer ungespannten Feder mit Federkonstante k und habe eine Geschwindigkeit
v(0) = v 0 . Wenn der Körper mit der Fallbewegung beginnt, wirken drei Kräfte auf ihn: die
abwärts gerichtete Gravitationskraft −mg, die der Bewegung entgegengesetzte Reibungskraft
−βv und die ebenfalls der Bewegung entgegengesetzte Rückstellkraft der Feder −kx. (a)
Stellen Sie die Bewegungsgleichung auf. (b) Welche physikalische Situation wird durch die
homogene Bewegungsgleichung beschrieben? Skizzieren Sie die Lösungen und diskutieren Sie
die Bewegung für t → ∞. (c) Lösen Sie die inhomogene Bewegungsgleichung und skizzieren
Sie die sich ergebenden Lösungen z(t) und v(t).
Aufgaben mit MatLab-Bezug
Aufgabe 146 Lösen Sie die DGL für den radioaktiven Zerfall numerisch mit Hilfe von: (a)
Euler Vorwärts, (b) Euler Rückwärts, (c) Leapfrog, und (d) Runge–Kutta. Verwenden Sie
unterschiedliche Schrittweiten. Vergleichen Sie die Lösungen bei verschiedenen Schrittweiten,
vergleichen Sie auch die Verfahren untereinander.
Aufgabe 147 Lösen Sie die Schwingungsgleichung aus § ?? numerisch mit Hilfe von: (a)
Euler Vorwärts, (b) Euler Rückwärts, (c) Leapfrog, und (d) Runge Kutta. Verwenden Sie
unterschiedliche Schrittweiten. Vergleichen Sie die Lösungen bei verschiedenen Schrittweiten,
vergleichen Sie auch die Verfahren untereinander.
Literatur
§ 1125 Eine sehr gute Einführung in gewöhnliche Differentialgleichungen mit vielen anwendungsbezogenen
Beispielen und ohne weitreichende mathematische Voraussetzungen bietet
Robinson [61]. Das Buch behandelt auch numerische Verfahren mit Schwerpunkt auf der
c○ M.-B. Kallenrode 13. März 2007