Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

394 KAPITEL 10. VEKTORANALYSIS
§ 1478 Die Gültigkeit des Gauß’schen Integralsatzes können wir am Beispiel eines Vektorfeldes
F ⃗ = (x 2 , y 2 , z 2 ) demonstrieren. Als Volumen wählen wir eine Kugel mit Radius r. Für
den Fluss durch die Oberfläche (linke Seite des Gauß’schen Integralsatzes (10.19)) verwenden
wir das Flächenelement dS ⃗ = dS⃗e r = ⃗r/r dS entsprechend § 1473.
⎛ ⎞ ⎛
∮
∮
⃗F · dS ⃗ 1
= ⎝ x2
y 2 ⎠ · ⎝ x ⎞
∮
y ⎠ dS = r 2 dS .
r
z 2 z
O(V)
O(V)
O(V)
Mit dem Flächenelement in Kugelkoordinaten dS = r 2 sin ϑ dϑ dϕ ergibt sich
∮
O(V)
⃗F · d ⃗ S =
∫2π
∫ π
ϕ=0 ϑ=0
r 4 sin ϑ dϑ dϕ = 2πr 4 . (10.20)
Für die rechte Seite von (10.19) ergibt sich mit dV = r 2 sin ϑ dϑ dϕ dr
∫
∫
divF ⃗ dV = 2 (x + y + z) dV
V
∫
= 2
V
2π ∫ π
∫ r
ϕ=0 ϑ=0 r=0
d.h. (10.20) und (10.21) sind identisch.
r 3 sin ϑ dr dϑ dϕ = 2πr 4 , (10.21)
§ 1479 Die Anwendung des Gauß’schen (oder Stokes’schen) Integralsatzes kann auch rechentechnische
Gründe haben. Betrachten wir dazu den Fluss des Feldes F ⃗ = (xy 2 , yz 2 , zx 2 )
durch die Oberfläche einer Kugel x 2 +y 2 +z 2 = 16. Dazu müssen wir über die Kugeloberfläche
integrieren, d.h. wir werden in Kugelkoordinaten arbeiten müssen. Der Normalenvektor weist
radial nach außen – da die Kugel einen Radius von 4 hat, erhalten wir ⃗n = 1 4
(x, y, z) und
damit für das Produkt aus Feld und Normalenvektor
⎛ ⎞ ⎛
⃗F · ⃗n = 1 ⎝ xy2
yz 2 ⎠ · ⎝ x ⎞
y ⎠ = 1 4
zx 2 4 (x2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x 2 ) .
z
In Kugelkoordinaten lässt sich dies schreiben als
⃗F · ⃗n = r4
4 (sin4 ϑ cos 2 ϕ sin 2 ϕ + sin 2 ϑ sin 2 ϕ cos 2 ϑ + cos 2 ϑ sin 2 ϑ cos 2 ϕ)
= 1 4 r4 sin 2 ϑ cos 2 ϕ sin 2 ϑ sin 2 ϕ + 1 4 r4 sin 2 ϑ cos 2 ϑ .
Das Flächenelement in Kugelkoordinaten ist wieder dS = r 2 sin ϑ dϑ dϕ. Damit ergibt sich
für den Fluss
Φ = r6
4
∫ π
∫π
= 4 5
∫2π
ϑ=0 ϕ=0
2π
∫
ϑ=0 ϕ=0
∫π
( [ ϕ
= 4 5 sin 5 ϑ
8
ϑ=0
(
sin 4 ϑ cos 2 ϕ sin 2 ϕ + sin 2 ϑ cos 2 ϑ ) sin ϑ dϑ dϕ
(
sin 5 ϑ cos 2 ϕ sin 2 ϕ + sin 3 ϑ cos 2 ϑ ) dϑ dϕ
∫π
( sin
= 2π 4 5 5 ϑ
+ sin 3 ϑ cos 2 ϑ
8
ϑ=0 ⎡
∫ π
∫ π
= 2π 4 5 ⎣ dϑ +
ϑ=0
sin 5 ϑ
8
] )
2π
sin 4ϕ
− + sin 3 ϑ cos 2 ϑ [ϕ] 2π
0
dϑ
32
0
)
ϑ=0
dϑ
⎤
sin 3 ϑ cos 2 ϑ dϑ⎦
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode