Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

518 ANHANG C. ERSTE HILFE
Beider Quotienten enthalten nur jeweils eine Basis, d.h. wir können Sie separat abarbeiten.
Dabei haben wir zwei Möglichkeiten: zuerst Zähler und Nenner jeweils getrennt
zusammenfassen (das werden wir mit dem ersten Quotienten machen) oder
gleich alle Terme bearbeiten (das machen wir beim zweiten). Die Regeln, die wir
benötigen, betreffen Produkte und Quotienten: in ersteren werden die Exponenten
addiert, in letzterem werden die Exponenten der Terme im Nenner von denen im
Zähler subtrahiert:
a x+1 · a 3x−1
a x−2 · a x · bx+3 · b x+3 a(x+1)+(3x−1)
b 3−x = · b (x+3)+(x+3)−(3−x)−(x+1) .
· bx+1 a (x−2)+x
Im nächsten Schritt haben wir bereits alle Terme zur Basis b verarbeitet, bei den
Ausdrücken mit der Basis a dagegen stehen noch Zähler und Nenner da und müssen
zusammen gefasst werden:
a x+1 · b x+3 · a 3x−1 · b x+3
a x−2 · b 3−x · a x · b x+1 == a4x
a 2x−2 · b2x+2 = a 4x−(2x−2) · b 2x+2 .
Dabei handelt es sich um ein Produkt von zwei Potenzen mit gleichem Exponenten.
Daher können die Basen zusammen gefasst werden und wir erhalten
a x+1 · b x+3 · a 3x−1 · b x+3
a x−2 · b 3−x · a x · b x+1 = a 2x+2 · b 2x+2 = (ab) 2x+2 .
Beispiel 9 Etwas verwirrender sieht dagegen der folgende Ausdruck aus:
(6a − 12b) 2 · (3a + 6b) 2
(6a 2 − 24b 2 ) 2
Aber keine Panik, auch hierbei handelt es sich nur um einen Papiertiger. Wieder
haben wir zwei Basen a und b. Außerdem enthält der Ausdruck jeweils Quadrate von
Summen bzw. Differenzen, d.h. die Anwendung der binomischen Formeln erscheint
verlockend. Allerdings machen binomische Formeln den Ausdruck länger und in diesem
speziellen Fall haben alls Klammern den Exponenten 2. Dann können wir auch
erst die Basen zusammen fassen und erst ganz am Ende quadrieren:
(6a − 12b) 2 · (3a + 6b) 2
(6a 2 − 24b 2 ) 2 =
( (6a − 12b) · (3a + 6b)
(6a 2 − 24b 2 )
Den Quotienten können wir etwas übersichtlicher gestalten, in dem wir mit 6 kürzen
und im zweiten Term im Zähler die 3 ausklammern:
( (6a − 12b) · (3a + 6b)
6a 2 − 24b 2 ) 2
=
( (a − 2b) · 3 · (a + 2b)
a 2 − 4b 2 ) 2
= 3 2 = 9 .
Im Nenner steht eine Differenz aus zwei Quadraten, nämlich a 2 −4b 2 = a 2 −(2b) 2 . Ein
derartiger Ausdruck lässt sich mit Hilfe der dritten binomischen Formel darstellen als
a 2 − (2b) 2 = (a − 2b)(a + 2b). Das sind genau die Terme, die auch im Zähler stehen,
so dass von dem ganzen Bruch nur die 3 überlebt. Diese muss noch quadriert werden,
so dass sich das oben gegebene Ergebnis ergibt.
Diese Umkehrung der dritten binomischen Formel ist ein Trick, der in der Physik
häufig angewandt wird – man sollte sich daher die dritte binomische Formel fast
noch besser einprägen als die beiden anderen.
✷
Beispiel 10 jetzt haben Sie es fast geschafft. Etwas auf den ersten Blick so verwirrend
erscheinendes wie der Ausdruck
( ) 2xb
3 3 ( 15x 2 a 3 ) 2 ( 25x 3 b 3 ) 2
3ya 3 ·
8y 3 ÷
b 12y 4 a
wartet auf Ihre kaltblütigen Fähigkeiten im Umgang mit zahnlosen Formelmonstern.
Umfangreich ist an dem Ausdruck eigentlich nur, dass er vier verschiedenen Basen a,
) 2
✷
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode