Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

462 KAPITEL 12. STATISTIK
Abb. 12.11. Diese diskrete Häufigkeitsverteilung geht über in eine kontinuierliche Verteilung,
wenn die Zahl der Messwerte beliebig erhöht wird. Die Verteilung kann dann durch
eine Dichtefunktion f(x) beschrieben werden, die die folgenden Eigenschaften hat:
• die Verteilung ist symmetrisch um den Mittelwert µ, d.h. betragsmäßig gleich große positive
und negative Abweichungen treten mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf.
• je grösser die Abweichung eines Messwertes vom Maximum ist, um so geringer ist seine
Wahrscheinlichkeit. f(x) ist daher eine vom Maximum nach beiden Seiten hin symmetrisch
abfallende Funktion.
Beide Eigenschaften können erst bei hinreichend großer Zahl von Einzelmessungen deutlich
werden, daher können wir nicht ausschließen, dass sich die in Abb. 12.11 gezeigte Verteilung
nicht doch als normalverteilt erweisen kann.
§ 1729 Eine normalverteilte Zufallsvariable kann durch eine normierte Dichtefunktion (Gauß’sche
Normalverteilung, vgl. Abschnitt 12.2.5) in der Form
{
f(x) = √ 1 exp − 1 ( ) } 2 x − µ
2πσ 2 σ
beschrieben werden mit µ als dem Mittelwert und σ als der Standardabweichung der Grundgesamtheit.
Das Maximum der Verteilung liegt bei x = µ, ihre Breite wird im wesentlichen
durch σ bestimmt. Die Wendepunkte der Verteilung liegen an den Stellen x w1,w2 = µ ± σ.
§ 1730 Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Messwert in ein Intervall [a, b] fällt, ist gegeben
durch das Integral
P (a ≤ x ≤ b) = 1 ∫ b {
σ √ exp − 1 ( ) } 2 x − µ
.
2π
2 σ
a
Mit Hilfe dieser Gleichung können wir die Zahl der Messwerte in bestimmten Intervallen
angeben:
– 68.3% der Messwerte liegen im Intervall [µ − σ, µ + σ]
– 95.5% der Messwerte liegen im Intervall [µ − 2σ, µ + 2σ]
– 99.7% der Messwerte liegen im Intervall [µ − 3σ, µ + 3σ]
§ 1731 Diese Zahlen lassen sich mit der normierten Gauss-Verteilung (12.11) und der Transformation
(12.12) bestimmen. Mit der Transformation u = (x − µ)/( √ 2σ) erhalten wir aus
f(x)dx das Integral
∫ µ+σ
µ−σ
√
1
I =
π
1/
∫
√ 2
−1/ √ 2
√
4
e −u2 du =
π
∫
1/ √ 2
0
e u2 du = erf
( 1 √2
)
= 0.683 .
Zählen‘ und Poisson-Verteilung
’
§ 1732 Messungen, bei denen statistisch auftretende Ereignisse gezählt werden, z.B. die Zahl
der in einer radioaktiven Substanz pro Zeiteinheit zerfallenden Atome oder die Zahl der in
einem Krankenhaus pro Monat geborenen Babys, werden durch die Poisson-Verteilung mit
µ = pn beschrieben:
P (x) = (pn)x e −pn
= µx e −µ
.
x! x!
Für die Varianz und die Standardabweichung gelten
n∑
σ 2 = (x − µ) 2 P (x) = pn = µ bzw. σ = √ µ .
x=0
Die vorhergesagte Standardabweichung der Poisson-Verteilung ist also die Wurzel aus dem
Mittelwert.
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode