Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

244 KAPITEL 7. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN
• Start zur Zwit t = 0 bei Nulldurchgang der Schwingung, d.h. x(0) = 0 und v(0) = v max .
Einsetzen in (7.17) liefert
x(0) = 0 = a cos 0 + b sin 0 = a ⇒ a = 0 ,
einsetzen in (7.18) liefert
v(0) = v max = −aω sin 0 + bω cos 0 = b ⇒ b = v max
ω
und damit für die Lösung
x(t) = v max
ω sin(ωt) und v(t) = v max cos(ωt) .
• Start zur Zeit t = 0 bei maximaler Auslenkung, d.h. x(0) = x max und v(0) = 0. Einsetzen
in (7.17) liefert
x(0) = x max = a cos 0 + b sin 0 = a ⇒ a = x max ,
einsetzen in (7.18) liefert
v(0) = 0 = −aω sin 0 + bω cos 0 = b ⇒ b = 0
und damit für die Lösung
x(t) = x max cos(ωt) und v(t) = −x max ω sin(ωt) .
Die allgemeinsten Anfangsbedingungen sind x(0) = x 0 und v(0) = v 0 . Dann ergibt sich nicht
wie in den Spezialfällen oben eine reine Sinus- oder reine Kosinussschwingung sondern eine
Überlagerung der beiden. Einsetzen in (7.17) liefert
x(0) = x 0 = a cos 0 + b sin 0 = a ⇒ a = x 0 ,
einsetzen in (7.18) liefert
v(0) = v 0 = −aω sin 0 + bω cos 0 = b ⇒ b = v 0
ω
und damit für die Lösung
x(t) = x 0 sin(ω 0 t) + v 0
ω cos(ωt) ⇒ v(t) = −x 0ω sin(ωt) + v 0 cos(ωt) .
Abbildung 7.2 zeigt die Lösungen für Ort (durchgezogen) und Geschwindigkeit (gestrichelt)
bei beliebigen Anfangsbedingungen. Die speziellen Anfangsbedingungen lassen sich durch
Parallelverschiebung der Ordinate darstellen.
Zwischenrechnung 34 Stellen Sie die Lösungen für die verschiedenen Randbedingungen
auch in der kompakteren Form unter Verwendung von Amplitude und Phasenverschiebung
dar. Berücksichtigen Sie insbesondere die Anfangsbedingung ‘maximale Auslenkung’, da dort
b = 0 im Ausdruck ϕ = − arctan(a/b) (aus Zwischenrechnung 33) entsteht.
§ 935 Zusammenfassung: Eine Differentialgleichung der Form
ẍ + ω 2 0x = 0 mit ω 2 0 = k m > 0 .
beschreibt eine harmonischer Schwingung der Frequenz ω 0 mit der allgemeinen Lösung
x(t) = x 0 cos(ω 0 t) + v 0
ω sin(ωt) ⇒ v(t) = −x 0ω sin(ωt) + v 0 cos(ωt) .
Gleichung und Lösung sind allgemein, die physikalischen Parameter der speziellen Situation
(Federpendel, elektrischer Schwingkreis) sind in der Kreisfrequenz ω 0 verborgen.
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode