Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

136 KAPITEL 4. DIFFERENTIALRECHNUNG
§ 529 Beginnen wir mit einem Beispiel. Die beiden partiellen Ableitungen der Funktion
f(x, y) = xy 2 + 4x 5 y + 16x sind
∂f(x, y)
∂x
= y 2 + 20x 4 y + 16 und
∂f(x, y)
∂y
= 2xy + 4x 5 .
§ 530 Die geometrische Interpretation der partiellen Ableitung entspricht der der gewöhnlichen
Ableitung. Letztere gibt die Steigung der Tangente an den Funktionsgraphen. Entsprechend
geben die einzelnen partiellen Ableitungen Tangenten an den Funktionsgraphen
in Richtung der Koordinate, nach der abgeleitet wurde:
⃗u = ⃗e x + f x ⃗e z und ⃗v = ⃗e y + f y ⃗e z .
Beide Tangenten spannen eine Ebene auf. Diese Tangentialebene im Punkt (a, b) lässt sich
mit Hilfe des Kreuzprodukts der beiden Tangenten darstellen:
⃗u × ⃗v
⃗e ⃗n =
|⃗u × ⃗v| = −f x(a, b)⃗e x + f y (a, b)⃗e y − ⃗e
√
z
1 + fx(a, 2 b) + fy 2 (a, b)
. (4.4)
Das Kreuzprodukt im Zähler definiert gemäß § 113 einen Vektor, der senkrecht auf der Tangentialebene
steht und dessen Betrag der Fläche des von den beiden Tangenten aufgespannten
Parallelogramms ist. Da die Fläche der Tangentialebene nicht interessiert sondern nur ihre
Richtung, wird nochmals durch den Betrag dividiert, d.h. es wir ein Normaleneinheitsvektor
betrachtet.
§ 531 Die beiden partiellen Ableitungen können zu einem Gradienten
( ) ( )
∂f/∂x fx
gradf(x, y) = ∇f =
=
∂f/∂y f y
kombiniert werden, d.h. zu einem Vektor, der die stärkste Steigung gibt, vgl. Abschn. 4.4.3.
Betrachten wir die Funktion aus zwei Variablen als ein Relief, so weist der Gradient in die
Richtung, in der wir bei weiterem Anstieg am stärksten aus der Puste kommen würden. Legen
wir eine Kugel auf dieses Relief, so rollt sie genau in die dem Gradienten entgegen gesetzte
Richtung, nämlich entlang der Falllinie in die Richtung des stärksten Gefälles.
§ 532 Die beiden partiellen Ableitungen des ansteigenden Tals aus Abb. 3.20 sind
f x = ∂
∂x (x2 + y) = 2x und f y = ∂ ∂y (x2 + y) = 1 ,
d.h. die Steigung in x-Richtung ist proportional zu x wie für eine Parabel erwartet, während
die in y-Richtung konstant ist wie für eine Gerade erwartet. Der Gradient ist
( ) ( )
fx 2x
gradf = ∇f = = .
f y 1
Die Tangentenvektoren sind damit ⃗u = (1, 0, 2x) und ⃗v = (0, 1, 1). Damit wird der Normalenvektor
der Tangentialebene zu
⎛
⃗n = ⎝ 1 ⎞ ⎛
0 ⎠ × ⎝ 0 ⎞ ⎛
1 ⎠ = ⎝ −2x
⎞
−1 ⎠
2x 1 1
und der Normaleneinheitsvektor zu
⎛
1
⃗e ⃗n = √ ⎝ −2x
⎞
−1 ⎠ .
4x2 + 2 1
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode