Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

334 KAPITEL 8. MATRIZEN
Abbildung 8.3: Zwei
Koordinatensysteme
K und K’ mit ihren
Einheitsvektoren
Dreh- und Spiegelmatrizen einfach als die Transponierten der entsprechenden Matrix bestimmen.
Damit ist die Umkehroperation einer Drehung um einen Winkel ϕ die Drehung um den
Winkel −ϕ, beschrieben durch die Drehmatrix
( ) ( )
cos(−ϕ) − sin(−ϕ)
D −ϕ =
= D −1 cos ϕ sin ϕ
ϕ =
.
sin(−ϕ) cos(ϕ)
− sin ϕ cos ϕ
Da der Kosinus eine gerade Funktion ist, ist cos(−ϕ) = cos ϕ, beim Sinus als ungerader
Funktion dagegen ist sin(−ϕ) = − sin ϕ.
Zwischenrechnung 50 Funktioniert das Verfahren wirklich auch bei den Spiegelmatrizen,
die ja in Diagonalform vorliegen?
§ 1257 Die Orthogonalität der Transformationsmatrix können wir auch auf etwas formalere
Weise zeigen. Die Einheitsvektoren in K’ lassen sich als Linearkombination derer in K
beschreiben, vgl. Abb. 8.3:
⃗e i ′ = d i1 ⃗e 1 + r i2 ⃗e 2 + r i3 ⃗e 3 oder ⃗e i ′ = ∑ j
d ij ⃗e j , i=1, 2, 3 (8.22)
mit den Projektionen d ij der Vektoren in K’ auf die Achse ⃗e j in K gemäß (1.10)
d ij = ⃗e i ′ · ⃗e j .
Diese Winkel d ij in können zusammengefasst werden in einer Drehmatrix
D = (d ij ) = ⃗e i ′ · ⃗e j .
Die Basisvektoren dieser Drehmatrix sind orthonormiert
∑
⃗e k · ⃗e ′ i = ⃗e k d ij ⃗e k · ⃗e j = d ki = cos ϕ ki
oder
k
⃗e 1 · (⃗e 2 × ⃗e 3 ) = ⃗e 1 ′ · (⃗e 2 ′ × ⃗e 3 ′ ) = 1 .
§ 1258 Die obige Aussage ist eine ‘genau dann wenn’-Aussage, d.h. die Umkehrung gilt ebenfalls:
jede orthogonale Transformationsmatrix ist entweder eine Drehmatrix oder das Produkt
aus einer Dreh- und einer Spiegelmatrix. Diesen Zusammenhang können wir für eine allgemeinere
als die obige zweidimensionale Darstellung von Dreh- und Spiegelmatrix verwenden.
Die Drehmatrix D hat einen reellen Eigenwert +1 mit dem zugehörigen normalisierten Eigenvektor
⃗e. Dann gilt 3
D = cos ϑE + (1 − cos ϑ)⃗e ⃗e + sin ϑ ⃗e ⃗e .
D bewirkt eine Rotation um den Winkel ϑ um eine zu ⃗e parallele Achse. Die Spiegelmatrix S
hat einen Eigenwert −1 mit dem zugehörigen Eigenvektor ⃗e und lässt sich darstellen als
S = E − ⃗e ⃗e .
S bewirkt eine Reflektion eines Vektors an einer Ebene mit der Normalen ⃗e.
3 Beachten Sie, dass der Ausdruck ⃗e⃗e ein dyadisches Produkt ist, d.h. eine Matrix.
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode