Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

390 KAPITEL 10. VEKTORANALYSIS
und damit für die beiden Integrale
W o =
∫ π
0
∫
dϕ = [ϕ] π 0 = π und W u =
d.h. das Kraftfeld ist nicht konservativ.
−π
0
dϕ = [ϕ] −π
0
= −π ,
§ 1467 Da wir der Bestimmung unserer Integrationsgrenzen (zumindest für den unteren
Halbkreis) nur begrenzt trauen, wählen wir ein unabhängiges verfahren um zumindest zu
überprüfen, ob das Feld konservativ ist. Dazu bestimmen wir seine Rotation:
⎛
∇ × F ⃗ = ⎝ ∂/∂x
⎞ ⎛
∂/∂y ⎠ ×
∂/∂z
⎝ −y/(x2 + y 2 )
x/(x 2 + y 2 )
0
⎞
⎛
⎠ = ⎝
0
0
1/(x 2 + y 2 ) + ....
Da die Rotation nicht verschwindet, ist das Feld nicht konservativ. Damit ist es auch nicht
verwunderlich, dass die beiden unterschiedlichen Wege in § 1466 auf unterschiedliche Werte
für das Linienintegral führen.
§ 1468 Betrachten wir jetzt die weiteren Kriterien für ein konservatives Feld. Würden wir
entlang eines geschlossenen Pfades integrieren, z.B. den Kreis von 0 bis 2π durchlaufen,
wäre das Integral W = 2π, ebenfalls ein Hinweis darauf, dass das Feld nicht konservativ ist.
Verschieben wir entlang des oberen Halbkreises und dann auch wieder entlang des oberen
Halbkreises zurück zum Ausgangspunkt, so läuft der Parameter ϕ auf dem Hinweg im Bereich
0 ≤ ϕ ≤ π, auf dem Rückweg jedoch im Bereich π ≥ ϕ ≥ 0 und damit ebenfalls 0 ≤ ϕ ≤ π.
Damit ergibt sich für die Summe der beiden entgegen gesetzten Wege
∫ π
0
dϕ +
∫ π
0
ϕ = 2π ,
bei der Umkehrung des Weges kehrt sich das Linienintegral also nicht um. Auch darin zeigt
sich, dass in diesem Feld das Linienintegral vom Weg abhängig ist.
10.3.3 (Ober-)Flächenintegral
§ 1469 Das Oberflächenintegral ist uns bereits in (10.2) begegnet. Dort hatten wir den Fluss
durch eine Fläche definiert als
∫
∮
Φ = ⃗v · dS ⃗ bzw. Φ = ⃗v · dS
⃗
für den Fluss durch eine geschlossene Oberfläche.
§ 1470 Die formale Behandlung entspricht der beim Linienintegral. Mit der Fläche S in Parameterform
⃗r = ⃗r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) lässt sich das Oberflächenintegral schreiben
als
∫ ∫
∫∫
⃗F · dS ⃗ = ⃗F · ⃗n dS = ⃗F · (⃗t u × ⃗t v ) dudv . (10.14)
S
S
S
Damit ist das Integral wieder in ein gewöhnliches Integral überführt. Da über Flächenelemente
integriert wird, handelt es sich um ein Doppelintegral in den beiden Parametern u und v.
§ 1471 Auch beim Flächenintegral ist die wesentliche Herausforderung die Parametrisierung
der Fläche. Das ist gleich bedeutend mit der geschickten Wahl des Koordinatensystems.
Ist diese erfolgt, so werden zuerst die Integrationsgrenzen bestimmt. Anschließend wird das
Vektorfeld durch die Parameter u und v ausgedrückt: ⃗ F (x, y, z) → ⃗ F = ⃗ F (u, v). Anschließend
werden die Tangentenvektoren ⃗t u = ∂⃗r/∂u und ⃗t v = ∂⃗r/∂v an die Parameterlinien der Fläche
werden gebildet. Aus dem Kreuzprodukt dieser Vektoren ergibt sich der Normalenvektor.
Damit lässt sich das Produkt ⃗ F · ⃗n = ⃗ F · (⃗t u × ⃗t v ) bilden – der Integrand ist damit auf einen
⎞
⎠
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode