Mathematik für Physiker - Numerische Physik: Modellierung

4 KAPITEL 1. VEKTOREN
1.2 Grundlagen
Abbildung 1.2: Ortsvektor
in kartesicher Darstellung
§ 45 Die Idee des Vektors sollte durch die Motivation klar geworden sein. Die formale Definition
lautet z.B.
Definition 1 Ein Vektor ist eine gerichtete Größe. Er wird durch eine Richtung und eine
Länge (einen Betrag) charakterisiert.
§ 46 Für die einfache geometrische Interpretation von Bewegungen sollen Vektoren als Ortsvektoren
verstanden werden: der Vektor ⃗r vom Ursprung des Koordinatensystems zum Punkt
P = (x, y) bzw. P = (x, y, z) ist der Ortsvektor des Punktes P .
1.2.1 Kartesische Darstellung
§ 47 Eine Methode zur Darstellung eines Vektors ist ein kartesisches Koordinatensystem
(KKS). Darunter verstehen wir ein System, in dem mehrere Achsen reeller Zahlen in ihrem
gemeinsamen Nullpunkt aufeinander senkrecht stehen. Ein zweidimensionales KKS besteht,
wie bei der Darstellung von Funktionen in einem Funktionsgraphen, aus der horizontalen
x-Achse und der vertikalen y-Achse. Darin kann ein Vektor ⃗r als Zeiger dargestellt werden
mit einer Komponenten r x (oder einfach x) entlang der x-Achse und einer Komponente r y
(oder einfach y) entlang der y-Achse. Im allgemeineren dreidimensionalen KKS stehen drei
Achsen senkrecht aufeinander. Ihr gemeinsamer Schnittpunkt definiert den Ursprung des
Koordinatensystems, ihre Anordnung entspricht einem Rechtssystem, vgl. Abb. 1.9. Dann
gibt es eine zusätzliche Komponente r z (oder einfach z) entlang der z-Achse.
§ 48 Dieses geordnete Zahlenpaar (r x , r y ) bzw. (r x , r y , r z ) lässt sich als Spaltenvektor schreiben
⎛
( ) ( )
rx x
⃗r = = oder in 3D ⃗r = ⎝ r ⎞ ⎛
x
r
r y y y
⎠ = ⎝ x ⎞
y ⎠ .
r z z
Im Text wird aus Gründen der Platzersparnis auch die Schreibweise ⃗r = (r x , r y , r z ) verwendet.
Diese darf nicht verwechselt werden mit dem Zeilenvektor
⃗r = ( r x r y r z ) .
Letzteren werden wir bei den Matrizen in Kap. 8 genauer betrachten; er wurde hier jedoch
bereits erwähnt, da wir diese feine Unterscheidung in MatLab berücksichtigen müssen.
1.2.2 Betrag
§ 49 In der Definition des Vektors wurden zwei Eigenschaften festgelegt: Betrag und Richtung.
Für den zweidimensionalen Fall können wir den Betrag mit Hilfe des Satzes von Pythagoras
direkt aus Abb. 1.2 ablesen:
√
r = |⃗r| = rx 2 + ry 2 = √ x 2 + y 2 .
Im dreidimensionalen Fall gilt entsprechend
√
r = |⃗r| = rx 2 + ry 2 + rz 2 = √ x 2 + y 2 + z 2 .
13. März 2007 c○ M.-B. Kallenrode